[数论]莫比乌斯反演1

索引

莫比乌斯反演1 定理
莫比乌斯反演2 证明
莫比乌斯反演3 技巧

前言

本篇内容全部为定理，无证明

定义

莫比乌斯函数的符号为\(\mu\)，通俗的来讲
\[ \mu(n) = \left\{ \begin{matrix} 1 & n=1\\ (-1)^k & n = p_1p_2p_3\dots p_k\\ 0 & \text{其他情况} \end{matrix} \right. \]
简单的说就是，如果\(n = 1\), \(\mu(n) = 1\)；\(n\)的因数多于两个时\(\mu(d)=(-1)^k\)，\(k\)为\(n\)的因数个数，其余时候\(\mu(n)=0\)。
其实真正的定义式如下：
\[\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]\]
然而方便起见我们还是采用最上面那个。

莫比乌斯函数的三个性质

1、莫比乌斯函数在n=1时\(\sum_{d|n}\mu(d)\)为1，其他时候为0
\[\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]\]
P.S.这条本来不是性质，是定义
2、莫比乌斯函数是积性函数（不完全积性）
即:
\[\mu(m \times n) = \mu(m) \times \mu(n)\]
\[\text{当且仅当}gcd(m,n)=1\]
3、对于任意的整数n
\[\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}\]

莫比乌斯反演

形式A

若在\(N^+\)上有两个函数\(f(n)\)和\(g(n)\)满足
\[g(n)=\sum_{d|n}f(n)\]
那么
\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g(\frac{n}{d})\]

形式B

若在\(N^+\)上有两个函数\(f(n)\)和\(g(n)\)满足
\[g(n)=\sum_{d|n}f(n)\]
那么
\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\]

计算莫比乌斯函数

做法A:定义法

暴力枚举每一个数的质因子及其幂次，根据定义判断即可。效率较低。

做法B:线性筛

前文讲到了莫比乌斯函数是积性函数，那么我们珂以用线性筛来计算
首先，可以确定的是质数的函数值一定是\(-1\)
然后，如果是被素数更新到的合数，那么每一次都取反（1变-1，-1变1）。
要保证被最小的质因子更新

代码

void getMu(int n){mu[1] = 1; is_not_prime[0] = is_not_prime[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i){if (!is_not_prime[i]) mu[primes[++prime_num] = i] = -1;for (int j = 1; j <= prime_num && primes[j] * i <= n; ++j){is_not_prime[i * primes[j]] = 1;if (!(i % primes[j])) break;elsemu[primes[j] * i] = -mu[i];}}
}