这个问题是我导师（面试组长）多次在保研考研面试的时候问过的，而且每年都会问！问题其实不难，涉及的知识点也就是自控原理经典控制理论的部分，但是基本上很少有人能够完整地回答出来，不服的话请看题：

-------------------------------------------请看题---------------------------------------------

假设平面上有一个小木块，现在要求你把它从原点移动到1m的位置上去，如何设计控制器？

如果你看到这里脑子没有懵圈，还能联想到经典控制理论学过的知识，那很好，说明你对控制已经有一个基本概念了。如果还没有反应过来也没关系，我来给大家捋一遍。

控制领域三个基本问题“建模”，“控制”，“优化”，建模摆在第一的位置，打仗要先研究透对手，控制也一样。很多时候控制效果不好，问题不是控制器的问题，而是对象的模型搞错了。当然对于这个任务，模型还是简单的，由牛顿第二定理

知道模型就是

，为了方便后面讨论这里先忽略摩擦。再考虑得简单一点，假设木块的质量是1kg，那么模型变成了

。

在这里我提醒大家一定要开始转变思路，多用微分来表示速度、加速度、角速度、角加速度，如果你一开始想到的是

，很容易脑子转不过弯来。

给定了控制的任务，也有了被控对象的模型，那下一步就可以开始设计控制器了。这里给一个建议，先把原理图画出来，在原理图的基础上分析问题能帮助我们很快地理清思路。我通常用来检验自己有没有搞懂一个控制问题的方法，就是直接去画它的原理图，如果不能很轻松地画出来，那说明我还没有完全理解。那么，对于这个任务它的原理图长这个样子：

因为要求木块到达1m的位置，所以

是一个幅值为1的阶跃信号，

是木块当前的实际位置。控制器暂时考虑使用最广泛的PID控制器，我们也按照PID来分析问题。最开始我抛出这个任务的时候，可能会有人脱口而出，用PID控制器呗，

三个参数多调两下总会实现的。

如何回答上面我重新提出的问题，我们先从考虑系统的稳定性问题开始。盯着画出来的原理图，可以重新解读控制目标为设计控制器使得最终的实际位置

，误差信号

。假设目前使用PD控制器，我们看看系统能不能达到期望的要求。

PD控制器的输出为

，而

，那么有：

式（1）

因为

，则

看到这里你就明白了，最终的偏差信号肯定等于零，而且这个跟踪过程还是以指数趋近的。你看，PD控制器也能解决问题，这种情况下用PID控制器就是浪费。

如果我改一下条件，我不让小木块一直停在x=1m就结束了，我想向让你推着小木块一直走，期望信号改成

。那公式1会变成什么样子呢？等式右边还是等于零，结果是一样的。这说明PD控制器不仅能完成对阶跃信号的跟踪，对于斜坡信号也没有问题。

继续改变条件分析，我们推箱子推得越来越起劲，越推越快。期望信号改成加速度输入

，那这时用PD控制器就有点费劲了。这是公式1变成：

很明显误差不等于零，怎么消除这个稳态误差呢？这个时候用PID控制器就比较合适了。控制器加入积分项后变成

，公式1变成

这样一来，误差就又等于零了。所以说为什么积分项能够消除稳态误差，数学上的道理就在这了。

好的，一个人推箱子的情况分析得差不多了。再来看看有一个熊孩子陪你推箱子时的情况。考虑存在外部干扰d，又该如何设计控制器？此时状态方程发生变化，不是

，而是

。同样，先画出新的原理图：

先假设干扰为常值干扰，即

。这时只能使用PID控制器才能压制住干扰了，公式1变成

然后再分别对期望信号分别为阶跃、斜坡、抛物线时进行分析，就能看出PID控制什么时候能做到无误差跟踪，什么情况下根本解决不了问题。这里我就不再仔细分析了。

这个时候建议你拿出自动控制理论教材，再看看书上的描述，应该是有了新的理解。就比如下面这个输入信号作用下的稳态误差表：

如果你看到这里对这个问题还有兴趣，那么可以再想远一点。

尝试增加被控对象的阶次试试，三阶系统会怎么样呢？

既然PID控制器不能实现无差控制，又有哪些控制器能解决？

还有哪些提高系统抗干扰的方法？

如果对象的模型不准确又该怎么办？等等等等……

我相信你如果能再想想这些问题，肯定会对经典控制理论有一个更深的认识。