正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4248

---

题目大意

$T_i$表示后缀$i\sim n$
一个字符串求
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^{n}len(T_i)+len(T_j)-2\ast lcp(T_i,T_j)$$

---

解题思路

有两种做法，这里标程用的是$SAM$

$SAM$做法

这个式子和树上路径长度很像，顺着这个思路，我们可以想到$SAM$上的$Parent$树。

两个后缀的$lcp$就是$Parent$树上的$LCA$的节点代表的字符串，我们让边长为$le{n}_x-le{n}_{fai{l}_x}$，然后答案就变为了树上的每条路径长度和。

那一条边的贡献就是$$(num-si{z}_x)\ast si{z}_x\ast len$$‘
统计即可，时间复杂度$O(n)$

$SA$做法

我们先计算定值${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i}^{n}len(T_i)+len(T_j)$
这里的定值就是$$\frac{n\ast (n-1)\ast (n+1)}{2}$$

然后我们考虑如何计算$LCP$的和
$heigh{t}_i=LCP(i,i-1)$
我们有LCP(i,j)=min{heightk}(i<k≤j)LCP(i,j)=min\{height_k\}(i<k\leq j)LCP(i,j)=min{heightk​}(i<k≤j)
所以这里的答案就变为了∑i=2n∑j=inmin{heightk}(i≤k≤j)\sum_{i=2}^{n}\sum_{j=i}^nmin\{height_k\}(i\leq k\leq j)i=2∑n​j=i∑n​min{heightk​}(i≤k≤j)
我们每个$heigh{t}_i$的贡献分开统计即可

---

$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e6+10;
struct node{ll to,next,w;
}a[N];
ll n,tot,ls[N],ans,num,siz[N];
ll next[N][26],len[N],fail[N],cnt;
char s[N];
void New_Point(ll x,ll v){next[x][v]=++cnt;len[cnt]=len[x]+1;
}
void addl(ll x,ll y,ll w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;
}
void Make_SAM(){ll now;now=cnt=1;for(ll i=1;i<=n;i++){ll val=s[i]-'a';New_Point(now,val);ll x=now,y;now=cnt;for(y=fail[x];y;y=fail[y])if(!next[y][val])next[y][val]=now;else{if(len[y]+1==len[next[y][val]])fail[now]=next[y][val];else{ll z=next[y][val];New_Point(y,val);fail[cnt]=fail[z];fail[z]=fail[now]=cnt;for(ll i=0;i<26;i++)next[cnt][i]=next[z][i];for(ll j=y;j;j=fail[j])if(next[j][val]==z)next[j][val]=cnt;}break;}siz[now]=1;if(!y) fail[now]=1;}for(ll i=2;i<=cnt;i++){num+=siz[i];addl(fail[i],i,len[i]-len[fail[i]]);}
}
void dfs(ll x){for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;dfs(y);ans+=siz[y]*(num-siz[y])*a[i].w;siz[x]+=siz[y];}
} 
int main()
{scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);Make_SAM();dfs(1);printf("%lld",ans);
}