题目1：

给定一个n个点m条边的连通图，保证没有自环和重边。对于每条边求出,在其他边权值不变的情况下,它能取的最大权值，使得这条边在连通图的所有最小生成树上。假如最大权值为无限大，则输出-1。

题解：

先求出图的一棵最小生成树：

对于不在树上的边(x,y)， 它的权值只要小于树上x到y路径中任意一条边就可以代替这条边。

对于在树上的边(x,y)，可以先预处理出所有两端在x到y路径上的不在树上的边的最小值。它的权值一定要小于最小值。

路径max和min都可以用倍增求。
时间复杂度O(nlogn)

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
const int N=2e5+5;
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}  return x*f;
}
int n,m,cnt=0,head[N];
int vis[N],ans[N];
int fa[N],dep[N],id[N];
int f[N][20],maxn[N][20];
struct data{int x,y,dis,id;
}a[N];
struct Edge{int v,w,nxt,id;
}edge[N<<1];
void add_edge(int u,int v,int w,int id){edge[++cnt].v=v;edge[cnt].w=w;edge[cnt].id=id;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
int find(int x){if(fa[x]==x) return fa[x];else return fa[x]=find(fa[x]);
}
bool cmp(data a,data b){return a.dis<b.dis;
}
void build(){sort(a+1,a+m+1,cmp);for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++){int x=a[i].x;int y=a[i].y;if(find(x)!=find(y)){fa[find(x)]=find(y);vis[a[i].id]=1;add_edge(x,y,a[i].dis,a[i].id);add_edge(y,x,a[i].dis,a[i].id);}}
}
void dfs(int u){for(int i=1;i<=18;i++){f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];maxn[u][i]=max(maxn[u][i-1],maxn[f[u][i-1]][i-1]);}for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){int v=edge[i].v;int w=edge[i].w;if(v==f[u][0]) continue;dep[v]=dep[u]+1;id[v]=edge[i].id;f[v][0]=u;maxn[v][0]=w;dfs(v);}
}
void solve(int x,int y,int dis){x=find(x);while(dep[x]>dep[y]){ans[id[x]]=min(ans[id[x]],dis-1);int k=find(f[x][0]);fa[x]=k;x=find(x);}//加入新的非树边，出现环，要把新出现的环缩成点
}
int get(int x,int y,int &lca){int ans=0;if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);for(int i=18;i>=0;i--)if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){ans=max(ans,maxn[x][i]);x=f[x][i];}if(x==y){lca=x;return ans;}for(int i=18;i>=0;i--){if(f[x][i]!=f[y][i]){ans=max(ans,maxn[x][i]);ans=max(ans,maxn[y][i]);x=f[x][i],y=f[y][i];}}lca=f[x][0];return max(ans,max(maxn[x][0],maxn[y][0]));
}
int main(){n=read();m=read();for(int i=1;i<=m;i++){a[i].x=read();a[i].y=read();a[i].dis=read();ans[i]=2e9; a[i].id=i;}build();dfs(1);for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++){if(!vis[a[i].id]){int x=a[i].x,y=a[i].y,z;ans[a[i].id]=get(x,y,z)-1;solve(x,z,a[i].dis);solve(y,z,a[i].dis);}}for(int i=1;i<=m;i++){if(ans[i]==2e9) printf("-1 ");else printf("%d ",ans[i]);}
}

题目2：

题解：

题目的操作其实可以看成给一条边权值加一

(u[lab],v[lab])这条边会被算到最小生成树里面，只有在权值小于等于它的边加完后，u[lab]和v[lab]不在一个连通块内。
我们把权值小于等于l[lab]的图建出来，现在问题变成，你可以用l[lab]−l[i]+1的代价砍掉一些边使得u[lab]和v[lab]不连通，最小割就好了。

题目3：

给定一个有n个点，m条边的无向连通图，每条边有边权。 定义一次操作为：选择一条图中的边，并将其权值+1。

试求最小的操作次数，使得操作后的图的最小生成树是唯一的。

题解