异或

题目大意

问你不小于$n$的数对$(a,b)$，有多少个满足$gcd(a,b)=a\oplus b$

输入样例#1

12

输出样例#1

8

输入样例#2

123456

输出样例#2

214394

数据范围

测试点	数据规模
1	10
2	100
3	1000
4	5000
5	10000
6	100000
7	500000
8	1000000
9	5000000
10	20000000

解题思路

我们设$c=gcd(a,b)$
我们可以枚举$c$
然后枚举$a$是$c$的多少倍
由此得出$a,c$
我们可以通过$gcd$求出$b$然后判断是否满足$a\oplus b=c$
但是这个时间复杂度过大，我们要进行优化

---

我们先证明$a-b⩽a\oplus b$
我们观察以下两个字符串$（x>y）$
$x:$ 11001
$y:$ 00101
$xor:$ 11100
1$.$对于$x,y$都是1的位$xor$和$-$得出结果都是0

2$.$对于只有$y$是1的位
因为$a>b$，所以在更高的位肯定有只有$x$是1的位，这样减出来的结果才可能是正数
因此$-$得出的结果是更高一位只有$x$是1的位减这一位
而$xor$得出的是这两位的和

3$.$对于只有$x$是1且无需用去减的位$xor$和$-$得出结果都是1
综上所述，$a-b⩽a\oplus b$

---

现在我们来证明$c⩽a-b$
因为$c=gcd(a,b)$
我们设
$a=c\ast as$
$b=c\ast bs$

若$a=b$则
$gcd(a,b)=1$
$a\oplus b=0$
$gcd(a,b)\ne a\oplus b$
$\therefore a\ne b$

$\because a\ne b且a⩾b$
$a>b$
$\because as>bs$
$as-bs⩾1$
$(as-bs)\times c⩾c$
$a-b⩾c$
若$a-b\ne c$
则$c<a-b⩽a\oplus b$
$c<a\oplus b$
无法满足$c=a\oplus b$
$\therefore a-b=c$
这样我们通过$b=a-c$求出$b$
然后判断$c$是否等于$a\oplus b$即可

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n, a, b, ans;
int main()
{scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n / 2; ++i)for (int j = 2; i * j <= n; ++j){a = i * j;b = a - i;//求bif (i == (a^b)) ans++;}printf("%d", ans);return 0;
}