正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/186/D

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题目大意

$m$个二元组$(a_i,b_i)$，对于一个序列$x$的贡献是$$\prod _{i=1}^n(a_i{x}_i^2+b_i{x}_i+1)$$
$q$次询问给出$n$求在$x_i\ge 0$且${\sum }_{i=1}^n{x}_i=n$时的情况下所有序列的贡献和。

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解题思路

$dp$思路

先列出简单的$dp$方程$$f_{i,j}=\sum _{k=0}^j{f}_{i,j-k}\ast (a_i{k}^2+b_{i}k+1)$$

然后发现这个每次转移时加的值是$$\sum _{k=0}^j{f}_{i,j-k}\ast (2a_{i}k+a_i+b_i)$$
然后这个加的值每次转移时加的值是$$\sum _{k=0}^j{f}_{i,j-k}\ast 2a_i$$
开几个差分变量统计即可。
时间复杂度$O(nm+q)$

$OGF$思路

阿巴阿巴这个我一点都不会，大部分都是靠幂炜大爷的指点的

每个物品是一个${\sum }_{i\ge 0}{x}^i(a{i}^2+bi+1)$的一个生成函数，然后化一下
$$a\sum _{i\ge 0}{x}^i{i}^2+b\sum _{i\ge 0}{x}^{i}i+\sum _{i\ge 0}{x}^i$$
最后一个是$\frac{1}{1-x}$就不多解释了，化一下前面两个
$$S=\sum _{i\ge 0}{x}^i{i}^2,xS=\sum _{i\ge 1}{x}^{i+1}{i}^2$$
$$(1-x)S=\sum _{i\ge 1}{x}^i(i^2-(i-1{)}^2)=2\ast \sum _{i\ge 1}{x}^{i}i-\sum _{i\ge 0}{x}^i$$
然后前面那个我们同理$$T=\sum _{i\ge 0}{x}^{i}i,xT=\sum _{i\ge 1}{x}^{i+1}i$$
$$(1-x)T=\sum _{i\ge 1}{x}^i=\frac{x}{1-x},T=\frac{x}{(1-x{)}^2}$$
代回去
$$(1-x)S=\frac{2x}{(1-x{)}^2}-\frac{x}{(1-x)}=\frac{2x-x(1-x)}{(1-x{)}^2}=\frac{x(x+1)}{(1-x{)}^2}$$
$$S=\sum _{i\ge 0}{x}^i{i}^2=\frac{x(x+1)}{(1-x{)}^3},\sum _{i\ge 0}{x}_{i}i=\frac{1}{(1-x{)}^2}$$
之前那个式子就可以变成
$$\frac{ax(x+1)}{(1-x{)}^3}+\frac{bx}{(1-x{)}^2}+\frac{1}{1-x}$$
然后展开就成了
$$\frac{1+(a+b-2)x+(a-b+1)x^2}{(1-x{)}^3}$$
然后所有的乘起来，因为只有三个系数，所以可以暴力乘。

答案就是乘积的生成函数中$x^n$的系数，考虑如何求。

我们已经处理出了一个$f$数组，$\frac{{\sum }_{j\ge 0}{x}^i{f}_i}{(1-x{)}^{3m}}$有
$$\frac{1}{(1-x{)}^k}=(\sum _{i\ge 0}{x}^i{)}^k=\sum _{i\ge 0}{x}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+i-1}{i-1})$$
$$\frac{{\sum }_{j\ge 0}{x}^i{f}_i}{(1-x{)}^{3m}}=\sum _{j\ge 0}{x}^i{f}_i\ast \sum _{i\ge 0}{x}^i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3m+i-1}{i-1}\right)$$
然后就可以卷积了，$x_n$的系数就是
$$\sum _{i=0}^n{f}_{n-i}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3m+i-1}{i-1}\right)$$

时间复杂度$O((q+m)n)$

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$code$

$dpcode$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1100,XJQ=998244353;
ll m,q,n,a[N],b[N],f[N][11000];
int main()
{scanf("%lld",&m);f[0][0]=1;for(ll i=1;i<=m;i++){scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);ll tmp1=0,tmp2=0,tmp3=0,sum=0;for(ll j=0;j<1e4;j++){sum=(sum+tmp2+tmp3+f[i-1][j])%XJQ;f[i][j]=sum;tmp2=(tmp2+tmp1)%XJQ;tmp1=(tmp1+2*f[i-1][j]%XJQ*a[i]%XJQ)%XJQ;tmp3=(tmp3+(b[i]+a[i])*f[i-1][j])%XJQ;}}scanf("%lld",&q);while(q--){scanf("%lld",&n);printf("%lld\n",f[m][n]);}return 0;
}

$OGFcode$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e4+10,P=998244353;
ll n,m,q,tot,fac[N],inv[N],f[N];
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
int main()
{scanf("%lld",&m);inv[1]=f[0]=fac[0]=inv[0]=1;for(ll i=2;i<=4e4;i++)inv[i]=(P-P/i)*inv[P%i]%P;for(ll i=1;i<=4e4;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P; for(ll i=1;i<=m;i++){ll a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);ll A=(a-b+1+P)%P,B=(a+b-2+P)%P;tot+=3;for(ll j=1e4;j>=0;j--){if(j>1)(f[j]+=f[j-2]*A%P)%=P;if(j>0)(f[j]+=f[j-1]*B%P)%=P;}}scanf("%lld",&q);while(q--){scanf("%lld",&n);ll ans=0;for(ll i=0;i<=n;i++)(ans+=C(i+tot-1,tot-1)*f[n-i]%P)%=P;printf("%lld\n",ans);}return 0;
}