AGC044E Pandom Pawn（期望+凸包）

最开始我们先旋转一下这张桌子，使得 $A_1=A_{n+1}=\max\{A_i\}$ 。

这是非常有效的，因为我们把环就变成链，只要到达了链的任意一端 $1 / n + 1$ 就肯定会结束游戏。

定义 $E_i:$ 从 $i$ 开始游戏，运用最优策略，结束游戏的期望收益。

显然， $E1=A1,En+1=An+1,∀1≤i≤nEi=max⁡(Ai,Ei−1+Ei+12−Bi)E_1=A_1,E_{n+1}=A_{n+1},\forall_{1\le i\le n}E_{i}=\max\Big(A_{i},\frac{E_{i-1}+E_{i+1}}2-B_i\Big)$ 。

简化问题，假设没有这个 $B_i$ 存在。

把 $i$ 看成 $i,A_i)$ 放到二维平面内，则答案 $E_i$ 就是 $i$ 为横坐标时在这些点维护出的凸壳上的纵坐标。

画画图就知道了。

维护凸壳以及求解答案是可以在线性时间内完成的。

考虑将当前复杂问题往简单问题上靠拢。

能否构造出一个新形式的 $F_i$ 将 $B_i$ 抵消掉，即 $Fi=max⁡(Gi,Fi−1+Fi+12)F_i=\max\Big(G_i,\frac{F_{i-1}+F_{i+1}}2\Big)$ ，再通过 $F_i$ 反推回 $E_i$ 。

$Ei−Ci=max⁡(Ai−Ci,Ei−1+Ei+12−Ci−Bi)⇕E_i-C_i=\max\Big(A_i-C_i,\frac{E_{i-1}+E_{i+1}}2-C_i-B_i\Big)\\ \Updownarrow$ $Ei−Ci=max⁡(Ai−Ci,Ei−1−Ci−1+Ei+1−Ci+12+Ci−1+Ci+12−Ci−Bi)E_i-C_i=\max\Big(A_i-C_i,\frac{E_{i-1}-C_{i-1}+E_{i+1}-C_{i+1}}2+\frac{C_{i-1}+C_{i+1}}2-C_i-B_i\Big)$

（因为 $B_i$ 是常量，前面的系数是不带 $i$ 的任一次方的，所以我们构造的时候应该先考虑不出现带 $i$ 系数的形式）

发现只要令 $∀1≤i≤nCi−1+Ci+12−Ci−Bi=0\forall_{1\le i\le n}\frac{C_{i-1}+C_{i+1}}2-C_i-B_i=0$ 就能达到目的。

$⇒Ci−Ci−1+2Bi=Ci+1−Ci\Rightarrow C_i-C_{i-1}+2B_i=C_{i+1}-C_i$ 且 $C_2=C_1=0$ ，这样 $C$ 就递推出来了。

令 $F_i=E_i-C_i$ ，则 $Fi=max⁡(Ai−Ci,Fi−1+Fi+12)F_i=\max\Big(A_i-C_i,\frac{F_{i-1}+F_{i+1}}2\Big)$ ，以 $i,F_i)$ 构造凸壳即可线性求解。

先维护出凸壳，后再挨个求纵坐标。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define double long double
#define maxn 200005
int A[maxn], B[maxn], C[maxn], s[maxn];
double ans;
int n;signed main() {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &A[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &B[i] );int id = max_element( A + 1, A + n + 1 ) - A;rotate( A + 1, A + id, A + n + 1 );rotate( B + 1, B + id, B + n + 1 );A[n + 1] = A[1], B[n + 1] = B[1];for( int i = 3;i <= n + 1;i ++ ) C[i] = ( B[i - 1] + C[i - 1] << 1 ) - C[i - 2];for( int i = 1;i <= n + 1;i ++ ) A[i] -= C[i];int top = 0;s[++ top] = 1;for( int i = 2;i <= n + 1;i ++ ) {while( top and (A[i] - A[s[top]]) * (s[top] - s[top - 1]) > (A[s[top]] - A[s[top - 1]]) * (i - s[top]) ) top --;/*( A[i]-A[s[top]] ) / ( i-s[top] ) k1 of new line( A[s[top]]-A[s[top-1]] ) / ( s[top]-s[top-1]) k1 of latest lineif k1>k2 throw k2*/s[++ top] = i;}double ans = 0;top = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if( s[top + 1] == i ) top ++;ans += (A[s[top + 1]] - A[s[top]]) * 1.0 / (s[top + 1] - s[top] ) * (i - s[top]) + A[s[top]];//将凸包上的一条边抽变成从原点开始计算ans += C[i];}printf( "%.12Lf\n", ans / n );return 0;
}