单位根反演

$[k\mid n]=\frac{1}{k}{\sum }_{i=0}^{k-1}{\omega }_k^{in}$

$k$ 次单位根是 $k$ 次幂为 $1$ 的复数解 $w_k$。利用单位圆和单位根的关系很容易证明。

• $k\mid n$

  显然 ${\omega }_k^{in}$，相当于转了 $\frac{in}{k}$ 圈单位圆，结果仍是 $1$。

  $\frac{1}{k}{\sum }_{i=0}^{k-1}1=1=k\mid n$

• $k\nmid n$

  使用等比数列求和。

  $[k\mid n]=\frac{1}{k}{\sum }_{i=0}^{k-1}{\omega }_k^{in}=\frac{1}{k}\cdot \frac{{\omega }_k^{nk}-1}{{\omega }_k^n-1}$

  $\because {\omega }_k^{nk}-1={\omega }_k^0-1=0\wedge {\omega }_k^n-1\ne 0$

  $\therefore \frac{1}{k}{\sum }_{i=0}^{k-1}{\omega }_k^{in}=0=[k\mid n]=k\nmid n$

LOJ6485. LJJ学二项式定理

$T$ 组数据，给定 $n,s,a_0,a_1,a_2,a_3$，求 ${\sum }_{i=0}^{n}C(n,i)\cdot s^i\cdot a_{i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)}$。结果对 $998244353$ 取模。

趁热打铁，我们很容易想到将 $i$ 按模 $4$ 的余数进行分类。对于每一类我们只想统计该统计的数。
$$\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)s^i\sum _{j=0}^3{a}_j[i\text{mod}4=j]=\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)s^i\sum _{j=0}^3{a}_j[4\mid (i-j)]$$
直接单位根反演：$[4|(i-j)]=\frac{1}{4}{\sum }_{k=0}^3{\omega }_4^{k(i-j)}$
$$\Rightarrow \sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)s^i\cdot \frac{1}{4}\sum _{j=0}^3{a}_j\cdot \sum _{k=0}^3{\omega }_4^{ki}{\omega }_4^{-kj}=\frac{1}{4}\sum _{j=0}^3{a}_j\sum _{k=0}^3{\omega }_4^{-kj}\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)s^i{\omega }_4^{ki}$$
二项式定理：${\sum }_{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)s^i{\omega }_4^{ki}={\sum }_{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)(s{\omega }_4^k{)}^i=(s{\omega }_4^k+1{)}^n$
$$\Rightarrow \frac{1}{4}\sum _{j=0}^3{a}_j\sum _{k=0}^3{\omega }_4^{-jk}(s{\omega }_4^k+1{)}^n$$
模 $998244353$ 意义下是有四次单位根的，且原根为 $3$，有 ${\omega }_4^1=g^{(mod-1)/4}$。

直接算即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define mod 998244353
int T, n, s;
int a[10], w[10] = { 1, 911660635, 998244352, 86583718 };int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans;
}signed main() {scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {scanf( "%lld %lld", &n, &s );for( int i = 0;i < 4;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );int ans = 0;for( int i = 0;i < 4;i ++ ) {int sum = 0;for( int j = 0;j < 4;j ++ )( sum += w[(4 - i) * j % 4] * qkpow( s * w[j] % mod + 1, n ) ) %= mod;( ans += sum * a[i] ) %= mod;}printf( "%lld\n", ans * qkpow( 4, mod - 2 ) % mod );}return 0;
}
/*
6
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1
3 4 5 6 1 2
4 5 6 1 2 3
5 6 1 2 3 4
6 1 2 3 4 5
*/