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详见文末
部分可视化（做了模糊处理，正文里的比这个更细致）

第一个问题是：考虑图1所示的Y型道路，支路1和支路2的车流同时汇入主路3。假设仅在主路3上安装了车流量监测设备A1，每2分钟记录一次主路的车流量信息，车辆从支路汇入主路后行驶到A1处的时间忽略不计。附件表1中提供了某天早上[6:58,8:58]主路3上的车流量数据(7:00为第一个数据记录时刻，8:58是最后一个数据记录时刻，下同)。由历史车流量观测记录可知，在[6:58,8:58]时间段内，支路1的车流量呈现线性增长趋势，支路2的车流量呈现先线性增长后线性减少的趋势。请建立数学模型，根据附件表1的数据推测在[6:58,8:58]时间段内支路1和支路2上的车流量，并使用合适的函数关系来描述支路1、支路2的车流量随时间的变化(为方便起见，函数关系中令7:00为t=0，8:58为t=118，下同)，在表1.1中填入具体的函数表达式。

1. 问题分析

问题1要求我们根据主路3上的车流量数据推测支路1和支路2的车流量函数表达式。已知条件如下：

• 支路1的车流量在[6:58, 8:58]内呈线性增长趋势。
• 支路2的车流量在[6:58, 8:58]内先线性增长后线性减少。
• 主路3的车流量是支路1和支路2车流量之和，且主路3的车流量数据已知。

因此，我们可以设定支路1和支路2的车流量函数形式，然后通过主路3的车流量数据拟合出具体参数。

2. 模型假设

1. 支路1的车流量在[6:58, 8:58]内线性增长，设其函数为：
   $$f_1(t)=k_{1}t+b_1$$
   其中 $ t $ 为时间（分钟），$ t=0 $ 对应7:00，$ t=118 $ 对应8:58。

2. 支路2的车流量在[6:58, 8:58]内先线性增长后线性减少，设其转折点为 $ t = t_0 $，函数为：
   $$f_2(t)=\{\begin{array}{ll}{k}_{2}t+b_2,& t\le t_0\\ k_{3}t+b_3,& t>t_0\end{array}$$
   其中在转折点处连续，即 $ k_2 t_0 + b_2 = k_3 t_0 + b_3 $。

3. 主路3的车流量是支路1和支路2车流量之和，即：
   $$f_3(t)=f_1(t)+f_2(t)$$
   其中 $ f_3(t) $ 已知（表1数据）。

4. 由于车辆汇入主路后到监测点A1的时间忽略不计，我们可以直接使用 $ f_3(t) $ 的数据来拟合 $ f_1(t) $ 和 $ f_2(t) $。

3. 模型建立

1. 对支路1的车流量 $ f_1(t) = k_1 t + b_1 $，由于是线性增长，$ k_1 > 0 $。

2. 对支路2的车流量，假设先增长后减少，因此在转折点前 $ k_2 > 0 $，转折点后 $ k_3 < 0 $。转折点 $ t_0 $ 可以通过观察主路车流量变化趋势或尝试不同 $ t_0 $ 来拟合确定。

3. 由于支路2的车流量函数在转折点处连续，有 $ k_2 t_0 + b_2 = k_3 t_0 + b_3 $，即 $ b_3 = (k_2 - k_3) t_0 + b_2 $。因此，支路2的函数实际上有三个独立参数 $ k_2, k_3, b_2 $。

4. 主路车流量函数为：
   $$f_3(t)=\{\begin{array}{ll}{k}_{1}t+b_1+k_{2}t+b_2,& t\le t_0\\ k_{1}t+b_1+k_{3}t+b_3,& t>t_0\end{array}$$
   整理得：
   $$f_3(t)=\{\begin{array}{ll}(k_1+k_2)t+(b_1+b_2),& t\le t_0\\ (k_1+k_3)t+(b_1+b_3),& t>t_0\end{array}$$
   代入 $ b_3 = (k_2 - k_3) t_0 + b_2 $，后段可写为：
   $$f_3(t)=(k_1+k_3)t+b_1+(k_2-k_3)t_0+b_2,t>t_0$$

5. 将 $ f_3(t) $ 分段线性拟合，前段为 $ (k_1 + k_2) t + (b_1 + b_2) $，后段为 $ (k_1 + k_3) t + (b_1 + (k_2 - k_3) t_0 + b_2) \

问题1的数学模型

我们首先定义以下变量和函数：

• $f_1(t)$ 表示支路1在时刻 $t$ 的车流量。
• $f_2(t)$ 表示支路2在时刻 $t$ 的车流量。
• $F(t)$ 表示主路3在时刻 $t$ 的车流量，即 $F(t)=f_1(t)+f_2(t)$。

根据题目描述：

1. 支路1的车流量呈现线性增长趋势，因此 $f_1(t)$ 可以表示为：
   $$f_1(t)=at+b$$
   其中 $a$ 和 $b$ 是常数。

2. 支路2的车流量呈现先线性增长后线性减少的趋势。假设在时刻 $t=t_0$ 时，车流量的变化趋势由增长变为减少，则 $f_2(t)$ 可以表示为分段线性函数：
   $$f_2(t)=\{\begin{array}{ll}ct+d& \text{for }t\le t_0\\ et+f& \text{for }t>t_0\end{array}$$
   其中 $c,d,e,f$ 是常数，且为了保证连续性，有 $c{t}_0+d=e{t}_0+f$。

3. 主路3的车流量 $F(t)=f_1(t)+f_2(t)$ 可以通过附件表1获得。

我们需要根据附件表1的数据来确定参数 $a,b,c,d,e,f$ 和 $t_0$。

确定参数

1. 对于支路1的线性函数 $f_1(t)=at+b$，我们可以利用最小二乘法拟合附件表1中的数据，得到 $a$ 和 $b$ 的估计值。

2. 对于支路2的分段线性函数，我们需要确定转折点 $t_0$。一种方法是观察主路车流量 $F(t)$ 的变化趋势，找到可能的分段点。然后，对于 $t\le t_0$ 和 $t>t_0$ 两部分数据分别用最小二乘法拟合线性函数，得到 $c,d,e,f$ 的估计值。

具体步骤

1. 支路1的参数估计：

   • 假设支路2的车流量在 $t=t_0$ 处变化趋势改变，支路2的表达式为：
     $$f_2(t)=\{\begin{array}{ll}ct+d& \text{for }t\le t_0\\ et+f& \text{for }t>t_0\end{array}$$

   • 由于支路1是线性增长，支路2先增长后减少，主路3的车流量 $F(t)$ 是由这两部分叠加而成的。我们可以观察 $F(t)$ 的变化趋势来估计 $t_0$。假设 $t_0=30$（这里需要根据实际数据调整），则：

     • 当 $t\le t_0$ 时，$F(t)=(a+c)t+(b+d)$；
     • 当 $t>t_0$ 时，$F(t)=(a+e)t+(b+f)$。

   • 利用 $t\le t_0$ 时的数据，通过最小二乘法拟合 $F(t)=k_{1}t+m_1$，得到 $k_1=a+c$ 和 $m_1=b+d$。

   • 利用 $t>t_0$ 时的数据，通过最小二乘法拟合 $F(t)=k_{2}t+m_2$，得到 $k_2=a+e$ 和 $m_2=b+f$。

   • 同时，由于支路1在整个时间段内线性增长，可以直接利用 $F(t)=f_1(t)+f_2(t)$ 和 $f_2(t)$ 的分段性质，通过最小二乘法拟合整个时间段的 $f_1(t)=at+b$。

2. 支路2的参数估计：

   • 在 $t\le t_0$ 时，$F(t)=f_1(t)+f_2(t)=(at+b)+(ct+d)=(a+c)t+(b+d)$，因此可以通过 $F(t)$ 减去 $f_1(t)$ 得到 $f_2(t) = F(t) - f_1(t) = (k_

问题1：Y型道路支路车流量推测

问题分析

1. 在Y型道路中，主路3的车流量是支路1和支路2的车流量之和。
2. 附件表1提供了主路3的车流量数据，时间间隔为2分钟。
3. 已知支路1的车流量线性增长，支路2的车流量先线性增长后线性减少。
4. 需要建立数学模型，推测支路1和支路2的车流量函数表达式。

数学模型

1. 支路1的车流量函数为线性增长：$ f_1(t) = k_1 t + b_1 $。
2. 支路2的车流量函数为分段线性函数：
   • 在 $[0,t_0]$ 内线性增长：$ f_2(t) = k_2 t + b_2 $。
   • 在 $(t_0,118]$ 内线性减少：$ f_2(t) = k_3 t + b_3 $。
   • 在 $ t = t_0 $ 处连续：$ k_2 t_0 + b_2 = k_3 t_0 + b_3 $。
3. 主路3的车流量：$ f_3(t) = f_1(t) + f_2(t) $。

求解思路

1. 假设支路2的车流量在 $ t_0 $ 时刻达到峰值，我们需要确定 $ t_0 $。
2. 由于附件表1提供了主路3的车流量数据，我们可以利用这些数据来拟合 $ f_1(t) $ 和 $ f_2(t) $ 的参数。
3. 考虑到支路2的车流量先增长后减少，我们可以将时间分为两段，每段进行线性拟合。
4. 假设 $ t_0 $ 为某个中间时刻（例如 $ t_0 = 60 $ 分钟），然后进行参数拟合，计算拟合误差，调整 $ t_0 $ 直到误差最小。

参数估计

1. 假设支路1的车流量从0开始线性增长，即 $ b_1 = 0 $。
2. 假设支路2的车流量在 $ t=0 $ 时为0，即 $ b_2 = 0 $。
3. 假设支路2的车流量在 $ t=118 $ 时为0，即 $ k_3 \times 118 + b_3 = 0 $。
4. 由于支路2的峰值在 $ t_0 $ 处，且连续，可以建立方程组求解参数。

具体步骤

1. 将附件表1的数据转换为时间序列数据，时间从 $ t=0 $ 到 $ t=118 $ 分钟，每2分钟一个数据点。
2. 假设支路1的车流量函数为 $ f_1(t) = k_1 t $。
3. 假设支路2的车流量函数为：
   • 在 $ t \leq t_0 $ 时，$ f_2(t) = k_2 t $。
   • 在 $ t > t_0 $ 时，$ f_2(t) = k_3 (t - 118) $（因为 $ t=118 $ 时 $ f_2(t) = 0 $）。
4. 主路车流量 $ f_3(t) = k_1 t + f_2(t) $。
5. 对于不同的 $ t_0 $，分段拟合参数 $ k_1, k_2, k_3 $，计算总误差。
6. 选择误差最小的 $ t_0 $ 作为最佳分段点。

Python代码实现

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt# 读取附件表1的数据
data = pd.read_excel("附件表1.xlsx")  # 假设数据存储在"附件表1.xlsx"中
time = np.arange(0, 120, 2)  # 时间从0到118分钟，每2分钟一个点
flow_main = data["车流量"].values  # 主路车流量数据# 定义支路1的车流量函数：线性增长
def flow1(t, k1):return k1 * t# 定义支路2的车流量函数：分段线性
def flow2(t, k2, k3, t0):flow2_values = np.zeros_like(t)for i, ti in enumerate(t):if ti <= t0:flow2_values[i] = k2 * tielse:flow2_values[i] = k3 * (ti - 118)

第二个问题是：

问题2. 考虑图2所示的道路，支路1和支路2的车流同时汇入主路5，支路3和支路4的车流同时汇入主路5，仅在主路5上安装了车流量监测设备A2，每2分钟记录一次主路的车流量信息，附件表2中提供了某天早上[6:58,8:58]时间段内主路5上的车流量数据。假设车辆从支路1和支路2的路口行驶到设备A2处的时间为2分钟，车辆从支路3和支路4的路口到达设备A2处的行驶时间忽略不计。

由历史车流量观测记录可知，在[6:58,8:58]时间段内，支路1的车流量稳定；支路2的车流量在[6:58,7:48]和[8:14,8:58]时间段内线性增长，在(7:48,8:14)时间段内稳定；支路3的车流量呈现先线性增长后稳定的趋势；支路4的车流量呈现周期性规律。

请建立数学模型，根据附件表2的数据推测支路1、支路2、支路3、支路4上的车流量，使用合适的函数关系来描述各支路上的车流量随时间 $t$ 的变化，并分析结果的误差。在表2.1中填入具体的函数表达式，在表2.2中分别填入7:30和8:30这两个时刻各支路上的车流量数值。

问题2分析

问题2的难点在于：

1. 支路1和支路2的车流进入主路5后，需要2分钟行驶到监测点A2，因此A2在时刻 $t$ 记录的车流量实际上是支路1和支路2在时刻 $t-2$ 的车流量与支路3和支路4在时刻 $t$ 的车流量之和。
2. 支路4的车流量具有周期性规律，这可能是由于交通信号灯或其他周期性因素导致的。
3. 支路3的车流量先线性增长后稳定，我们需要找到这个转折点。
4. 支路2的车流量在不同时间段有不同的趋势，并且有稳定阶段。

建模思路

1. 数据预处理：将附件表2的数据读入，并按照时间排序。
2. 支路1的车流量是稳定的：设支路1的车流量为常数 $C_1$。
3. 支路2的车流量：
   • 在 $[6:58,7:48]$ 和 $[8:14,8:58]$ 时间段内线性增长和减少，设为线性函数。
   • 在 $(7:48,8:14)$ 时间段内稳定，设为常数 $C_2$。
4. 支路3的车流量先线性增长后稳定：设为分段函数，先线性增长，后稳定。
5. 支路4的车流量具有周期性：可以尝试用正弦函数或分段线性函数拟合。

数学表达式

设支路1、2、3、4的车流量分别为 $f_1(t),f_2(t),f_3(t),f_4(t)$，则主路5上监测点A2在时刻 $t$ 的车流量为：
$$f(t)=f_1(t-2)+f_2(t-2)+f_3(t)+f_4(t)$$

函数形式假设

1. 支路1：$f_1(t)=C_1$（常数）。
2. 支路2：
   • $t\in [6:58,7:48]$：$f_2(t)=a_{2}t+b_2$（线性增长）。
   • $t\in (7:48,8:14)$：$f_2(t)=C_2$（常数）。
   • $t\in [8:14,8:58]$：$f_2(t)=a_2^{\prime }t+b_2^{\prime }$（线性减少）。
   • 在 $t=7:48$ 和 $t=8:14$ 处需要满足连续性条件。
3. 支路3：
   • 假设在 $t=t_0$ 之前线性增长，之后稳定。
   • $t\le t_0$：$f_3(t)=a_{3}t+b_3$（线性增长）。
   • $t>t_0$：$f_3(t)=C_3$（常数）。
   • 在 $t=t_0$ 处需要满足连续性条件。
4. 支路4：
   • 假设周期为 $T$ 的函数，例如 $f_4(t)=A\sin (\omega t+\varphi )+D$ 或分段线性函数。
   • 由于题目没有给出具体周期，可能需要从数据中推断。

求解方法

1. 估计支路1的车流量 $C_1$：

   • 由于支路1的车流量稳定，可以通过观察主路车流量在稳定时段的变化来估计。
   • 例如，在支路2和支路3都稳定的时间段，主路车流量减去支路3和支路4的车流量后，即可得到支路1和支路2的车流量之和，从而进一步得到 $C_1$。

2. 估计支路2的车流量：

   • 在 $t\in [6:58,7:48]$ 期间，支路2线性增长，支路3和支路4的影响需要分离。
   • 在 $t\in (7:48,8:14)$ 期间，支路2稳定，可以与支路1一起估计。

3. 估计支路3和支路4的车流量：

   • 在 $t\in [6:58,7:48]$ 期间，支路3可能处于线性增长阶段，支路4周期性变化。
   • 通过观察主路车流量的周期性变化来估计支路4的参数。

具体步骤

1. 数据预处理：
   • 将时间转换为

问题2

问题分析

问题2中，我们有四条支路汇入主路5，其中支路1和支路2汇入后经过2分钟到达监测设备A2，支路3和支路4汇入后立即到达A2。设备A2每2分钟记录一次主路5的车流量。现在需要根据主路5的车流量数据推测各支路的车流量变化函数。

已知条件：

1. 支路1车流量稳定（常数）。
2. 支路2车流量在[6:58,7:48]（对应$t\in [0,\frac{7}{5}]$）和[8:14,8:58]（对应$t\in [\frac{67}{60},2]$）线性增长，在(7:48,8:14)（对应$t\in (\frac{7}{5},\frac{67}{60})$）稳定。
3. 支路3车流量先线性增长后稳定。
4. 支路4车流量呈现周期性规律。

我们需要根据主路的数据和各支路的已知规律，建立数学模型来推测各支路车流量随时间$t$的变化函数。

数学模型

1. 支路1：车流量稳定，设为常数$c_1$。

2. 支路2：

   • 在$t\in [0,\frac{7}{5}]$，线性增长，设为$f_2(t)=k_{2}t+b_2$。
   • 在$t\in [\frac{7}{5},\frac{67}{60}]$，稳定，设为$f_2(t)=c_2$。
   • 在$t\in [\frac{67}{60},2]$，线性增长，设为$f_2(t)=k_{3}t+b_3$。
   • 由于连续性，有：
     • $\frac{7}{5}{k}_2+b_2=c_2$，
     • $\frac{67}{60}{k}_3+b_3=c_2$。

3. 支路3：先线性增长后稳定，设转变点为$t=t_0$。

   • $t\in [0,t_0]$，线性增长，$f_3(t)=k_{4}t+b_4$。
   • $t\in [t_0,2]$，稳定，$f_3(t)=c_3$。
   • 由于连续性，$k_4{t}_0+b_4=c_3$。

4. 支路4：周期性规律，假设为三角函数形式，如正弦函数$f_4(t)=A\sin (\omega t+\varphi )+B$。

主路车流量与支路的关系

由于支路1和支路2的车流经过2分钟（即$\frac{1}{30}$小时，对应$t$的$\frac{1}{30}$单位）才到达A2，而支路3和支路4立即到达A2。因此，主路5在时刻$t$的车流量$Q(t)$满足：

$$Q(t)=f_1(t-\frac{1}{30})+f_2(t-\frac{1}{30})+f_3(t)+f_4(t)$$

注意，当$t<\frac{1}{30}$时，$f_1(t-\frac{1}{30})$和$f_2(t-\frac{1}{30})$没有贡献（假设在此之前没有车流）。

求解模型

1. 由于支路1稳定，设$f_1(t)=c_1$，则$Q(t)=c_1+f_2(t-\frac{1}{30})+f_3(t)+f_4(t)$。

2. 利用车流量数据，结合各支路的函数形式，通过分段拟合或优化方法求解各参数。

3. 对于支路4的周期性，可以先对数据进行傅里叶变换或假设一个周期函数形式进行拟合。

4. 由于支路3在$t_0$后稳定，可以假设$t_0$后$f_3(t)$为常数，通过比较$Q(t)$的变化来确定$t_0$。

误差分析

1. 模型的误差主要来源于假设的函数形式与实际车流量变化的差异。
2. 数据采集的离散性也可能导致误差。
3. 可以通过残差分析来评估模型的拟合效果。

具体步骤

1. 将时间转换为$t$（以7:00为$t=0$

问题2的数学模型建立与求解

1. 问题分析

问题2涉及图2所示的道路结构，其中支路1和支路2的车流汇入主路5，支路3和支路4的车流也汇入主路5。由于主路5上的监测设备A2每2分钟记录一次车流量，我们需要根据附件表2的数据和支路车流量的历史趋势，推测各支路的车流量。

关键信息：

1. 车辆从支路1和支路2汇入主路5到A2的行驶时间为2分钟。
2. 车辆从支路3和支路4汇入主路5到A2的行驶时间忽略不计。
3. 支路车流量的历史趋势：
   • 支路1：稳定。
   • 支路2：[6:58,7:48]和[8:14,8:58]线性增长，(7:48,8:14)稳定。
   • 支路3：先线性增长后稳定。
   • 支路4：周期性规律。

2. 数学模型

2.1 时间变量定义

为了方便建模，我们将时间转化为从7:00开始的分钟数，即：

• 7:00对应 $ t = 0 $ 分钟。
• 8:58对应 $ t = 118 $ 分钟。

2.2 支路车流量表示

假设各支路的车流量函数如下：

1. 支路1：流量稳定，设为 $ f_1(t) = C_1 $。
2. 支路2：
   • 在 $ t \in [0, 48] $ 和 $ t \in [74, 118] $ 线性增长和减少，设为 $ f_2(t) = k_2 t + b_2 $。
   • 在 $ t \in (48, 74) $ 稳定，设为 $ f_2(t) = C_2 $。
3. 支路3：先线性增长后稳定，假设在 $ t = t_{3s} $ 时稳定，则：
   • $ t \leq t_{3s} $ 时，$ f_3(t) = k_3 t + b_3 $。
   • $ t > t_{3s} $ 时，$ f_3(t) = C_3 $。
4. 支路4：周期性，假设周期为 $ T $，可表示为 $ f_4(t) = A \sin(\omega t + \phi) + D $。

2.3 主路车流量关系

主路5的车流量是各支路车流量的叠加，考虑到行驶时间：

• 支路1和支路2在 $ t $ 时刻到达A2的车流量是在 $ t-2 $ 时刻汇入的。
• 支路3和支路4在 $ t $ 时刻到达A2的车流量就是在 $ t $ 时刻汇入的。

因此，主路5在 $ t $ 时刻的车流量 $ F(t) $ 可表示为：
$$F(t)=f_1(t-2)+f_2(t-2)+f_3(t)+f_4(t)$$

3. 参数估计与求解

3.1 支路1

由于支路1稳定，即 $ f_1(t) = C_1 $，则：
$$F(t)=C_1+f_2(t-2)+f_3(t)+f_4(t)$$

3.2 支路2

支路2的流量分为三个时间段：

1. $ t-2 \in [0, 48] $（即 $ t \in [2, 50] $）：$ f_2(t-2) = k_2 (t-2) + b_2 $。
2. $ t-2 \in (48, 74) $（即 $ t \in (50, 76) $）：$ f_2(t-2) = C_2 $。
3. $ t-2 \in [74, 118] $（即 $ t \in [76, 120] $）：$ f_2(t-2) = k’_2 (t-2) + b’_2 $。

由于题目说明支路2在 $ [6:58,7:48] $ 和 $ [8:14,8:58] $ 线性增长，实际上：

• 第一个时间段 $ [0, 48] $ 是线性增长，斜率 $ k_2 $ 为正。
• 第二个时间段 $ (48, 74) $ 稳定

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