c/c++蓝桥杯经典编程题100道(19)汉诺塔问题

汉诺塔问题

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目录

汉诺塔问题

一、题型解释

二、例题问题描述

三、C语言实现

解法1:递归法(难度★)

解法2:迭代法(难度★★★)

四、C++实现

解法1:递归法(使用STL容器记录步骤,难度★☆)

解法2:面向对象封装(难度★★)

五、总结对比表

六、特殊方法与内置函数补充

1. C语言中的结构体栈

2. C++的 std::vector

3. 汉诺塔数学公式


一、题型解释

汉诺塔(Tower of Hanoi)是经典的递归问题,描述如下:

  • 三根柱子:A(起点)、B(辅助)、C(终点)。

  • 若干盘子:初始时所有盘子按大小顺序叠放在A柱,大的在下,小的在上。

  • 目标:将所有盘子从A柱移动到C柱,每次只能移动一个盘子,且任何时候大盘子不能放在小盘子上

常见题型:

  1. 基础问题:计算移动步骤或最少步数(n个盘子需移动 2^n - 1 次)。

  2. 多柱扩展:四根或多根柱子的变种问题(如Frame-Stewart算法)。

  3. 路径限制:限制某些移动规则(如只能从A→B、B→C、C→A)。


二、例题问题描述

例题1:输入盘子数 n=3,输出移动步骤:

A → C  
A → B  
C → B  
A → C  
B → A  
B → C  
A → C

例题2:输入 n=4,输出最少移动次数 15
例题3:验证移动序列 [A→B, A→C, B→C] 是否是 n=2 的有效解(输出 true)。


三、C语言实现

解法1:递归法(难度★)

通俗解释

  • 将问题分解为三步:

    1. 将前 n-1 个盘子从A移动到B(借助C)。

    2. 将第 n 个盘子从A移动到C。

    3. 将 n-1 个盘子从B移动到C(借助A)。

c

#include <stdio.h>// 递归函数:将n个盘子从src移动到dst,使用aux作为辅助
void hanoi(int n, char src, char aux, char dst) {if (n == 1) { // 基线条件:只剩一个盘子直接移动printf("%c → %c\n", src, dst);return;}hanoi(n - 1, src, dst, aux); // 将n-1个盘子从src移动到aux(借助dst)printf("%c → %c\n", src, dst); // 移动第n个盘子到dsthanoi(n - 1, aux, src, dst); // 将n-1个盘子从aux移动到dst(借助src)
}int main() {int n = 3;hanoi(n, 'A', 'B', 'C');return 0;
}

代码逻辑

  1. 基线条件:当 n=1 时,直接移动盘子。

  2. 递归分解

    • 第一步:将 n-1 个盘子从起点移动到辅助柱(递归调用)。

    • 第二步:移动最大的盘子到目标柱。

    • 第三步:将 n-1 个盘子从辅助柱移动到目标柱(递归调用)。

  3. 时间复杂度:O(2^n),因为每一步分解为两个子问题。


解法2:迭代法(难度★★★)

通俗解释

  • 用栈模拟递归过程,手动管理每一步的状态(当前盘子数、源柱、辅助柱、目标柱)。

c

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 定义栈结构体,存储每一步的状态
typedef struct {int n;char src, aux, dst;
} StackFrame;void hanoiIterative(int n, char src, char aux, char dst) {StackFrame stack[100]; // 假设n不超过100层int top = -1; // 栈顶指针// 初始状态:移动n个盘子从src到dst,使用aux辅助StackFrame init = {n, src, aux, dst};stack[++top] = init;while (top >= 0) {StackFrame current = stack[top--]; // 弹出当前任务if (current.n == 1) {printf("%c → %c\n", current.src, current.dst);} else {// 分解为三个子任务(注意顺序与递归相反)// 子任务3:移动n-1个盘子从aux到dst,使用src辅助StackFrame task3 = {current.n - 1, current.aux, current.src, current.dst};stack[++top] = task3;// 子任务2:移动第n个盘子从src到dstStackFrame task2 = {1, current.src, current.aux, current.dst};stack[++top] = task2;// 子任务1:移动n-1个盘子从src到aux,使用dst辅助StackFrame task1 = {current.n - 1, current.src, current.dst, current.aux};stack[++top] = task1;}}
}int main() {hanoiIterative(3, 'A', 'B', 'C');return 0;
}

代码逻辑

  1. 栈模拟递归:显式管理待处理的任务(类似递归调用栈)。

  2. 任务分解顺序:由于栈是后进先出,子任务需按相反顺序入栈。

  3. 优势:避免递归的栈溢出风险,适合大规模n。


四、C++实现

解法1:递归法(使用STL容器记录步骤,难度★☆)

通俗解释

  • 使用 vector 存储移动步骤,方便后续处理或输出。

cpp

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;vector<string> steps; // 存储移动步骤void hanoi(int n, char src, char aux, char dst) {if (n == 1) {steps.push_back(string(1, src) + " → " + dst);return;}hanoi(n - 1, src, dst, aux);steps.push_back(string(1, src) + " → " + dst);hanoi(n - 1, aux, src, dst);
}int main() {hanoi(3, 'A', 'B', 'C');for (const string& step : steps) {cout << step << endl;}return 0;
}

代码逻辑

  • 与C语言递归逻辑相同,但使用 vector<string> 动态存储步骤。

  • 输出灵活性:可随时访问或修改步骤记录。


解法2:面向对象封装(难度★★)

通俗解释

  • 将汉诺塔问题封装为类,支持多种操作(如统计步数、验证步骤)。

cpp

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;class HanoiSolver {
private:vector<string> steps;void move(int n, char src, char aux, char dst) {if (n == 1) {steps.push_back(string(1, src) + " → " + dst);return;}move(n - 1, src, dst, aux);steps.push_back(string(1, src) + " → " + dst);move(n - 1, aux, src, dst);}
public:void solve(int n) {steps.clear();move(n, 'A', 'B', 'C');}void printSteps() {for (const string& step : steps) {cout << step << endl;}}
};int main() {HanoiSolver solver;solver.solve(3);solver.printSteps();return 0;
}

代码逻辑

  1. 封装性:将步骤记录和求解逻辑封装在类中。

  2. 扩展性:可添加方法统计步数、验证移动序列等。


五、总结对比表

方法时间复杂度空间复杂度优点缺点
递归法O(2^n)O(n)代码简洁,易理解栈溢出风险
迭代法O(2^n)O(n)避免递归栈溢出代码复杂,需手动管理栈
STL容器记录O(2^n)O(2^n)灵活处理步骤内存占用高
面向对象封装O(2^n)O(2^n)扩展性强,易于维护代码稍长

六、特殊方法与内置函数补充

1. C语言中的结构体栈

  • 作用:手动实现栈结构,存储递归状态(需注意栈大小限制)。

2. C++的 std::vector

  • 动态数组:自动扩展容量,适合存储不定长的移动步骤。

3. 汉诺塔数学公式

  • 最少步数2^n - 1,可通过位运算快速计算(如 (1 << n) - 1)。

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