衡水网站设计,做网站杭州,小程序制作那个好,广告设计与制作就业前景对给定序列\(\{a_{0,1,2,\cdots}\}\) 构造一个函数\(F(x)\sum_{i0,1,2,\cdots}a_if_i(x)\)#xff0c;称\(F(x)\)为序列\(\{a_{0,1,2,\cdots}\}\)的生成函数。其中#xff0c;序列\(\{f_{0,1,2,\cdots}(x)\}​\)只作为标志用#xff0c;称为标志函数。 普通型生成函数(OGF) …对给定序列\(\{a_{0,1,2,\cdots}\}\) 构造一个函数\(F(x)\sum_{i0,1,2,\cdots}a_if_i(x)\)称\(F(x)\)为序列\(\{a_{0,1,2,\cdots}\}\)的生成函数。其中序列\(\{f_{0,1,2,\cdots}(x)\}​\)只作为标志用称为标志函数。 普通型生成函数(OGF) 当标志函数为\(\{x^{0,1,2,\cdots}\}\)时即生成函数为\(F(x)\sum_{i0}^{\infty}a_ix^i\)称这类生成函数为普通型生成函数可记作\(G(x)\)。 卷积 OGF: \(F(x),G(x)\) 的卷积\(F(x)*G(x)\sum_{i0}^{\infty} (\sum_{j0}^i a[j]*b[i-j]) x^i​\)。 定理 设从\(n\)元集合\(S\{a_{1,2,\cdots,n}\}\)中取\(1,2,\cdots\)个元素组合若限定元素\(a_i\)出现次数的集合为\(M_i\ (1\le i\le n)\)则该组合数序列的生成函数为:\[ \prod_{i1}^n(\sum_{x\in M_i}x^m) \] 常用到的普通型生成函数有\[ \begin{aligned} \frac{1}{1-x}1xx^2x^3\cdots\\ (\frac{1}{1-x})^212x3x^24x^3\cdots\\ (\frac{1}{1-x})^n 1nx\frac{n(n1)}{2!}x^2\frac{n(n1)(n2)}{3!}x^3\cdots \end{aligned} \] 例题 求\(n\)位十进制正数中出现偶数个\(5​\)的数的个数。 设\(a_i\)表示\(i\)位十进制正数中出现偶数个\(5\)的数的个数\(b_i\)表示\(i\)位十进制正数中出现奇数个\(5\)的数的个数不难得出\[ \left. \begin{aligned} a_n9a_{n-1}b_{n-1}\\ b_n9b_{n-1}a_{n-1}\\ a_18\\ b_11 \end{aligned} \right\}(0) \Rightarrow \left. \begin{aligned} a_n-9a_{n-1}-b_{n-1}0\\ b_n-9b_{n-1}a_{n-1}0\\ \end{aligned} \right\} \] 设序列\(\{a_n\}\)\(\{b_n\}\)的生成函数分别为\[ \begin{align} A(x)a_1a_2xa_3x^2\cdots (1)\\ B(x)b_1b_2xb_3x^2\cdots (2) \end{align} \] 由\(-9x*(1)-x*(2)(1)\)得\[ (1-9x)A(x)-xB(x)a_18\qquad(3) \] 再由\(-x*(1)-9x*(2)(2)\)得\[ (1-9x)B(x)-xA(x)b_11\qquad(4) \] 由\((3)\)、\((4)\)可得\[ \left. \begin{aligned} A(x)\frac{-71x8}{(1-8x)(1-10x)}\\ B(x)\frac{1-x}{(1-8x)(1-10x)} \end{aligned} \right\} \] 更进一步的\[ \begin{aligned} A(x)\frac{7/2}{1-8x}\frac{9/2}{1-10x}\frac{1}{2}*(7*\sum_{n0}^{\infty}(8x)^n9*\sum_{n0}^{\infty}(10x)^n) \end{aligned} \] 即:\[ a_x\frac{7}{2}*8^{x-1}\frac{9}{2}*10^{x-1} \] 指数型生成函数(EGF) 当标志函数为\(\{\dfrac{x^i}{i!}\ |\ i0,1,2,\cdots\}\)时即生成函数为\(F(x)\sum_{i0}^{\infty} a_i(\dfrac{x^i}{i!})\)称此类生成函数为指数型生成函数可记作\(G_e(x)\)。 卷积 EGF: \(F(x),G(x)\) 的卷积\(F(x)*G(x)\sum_{i0}^{\infty} (\sum_{j0}^i \begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix} a[j]*b[i-j]) \dfrac{x^i}{i!}\)。 定理 从多重集\(M\{\infty*a_1,\infty*a_2,\infty*a_3,\cdots,\infty*a_n\}\)中选区\(1,2,3,\cdots\)个元素排列若元素\(a_i\)出现的次数集合为\(M_i\ (1\le i\le n)\)则该排列数序列的生成函数为\[ \prod_{i1}^n(\sum_{m\in M_i}\dfrac{x^m}{m!}) \] 所谓多重集multiset之于集合set英文写出来差不多就懂了。函数\(\dfrac{x^m}{m!}\)中除以\(m!\)是因为排列中这\(m\)个相同元素的先后是不考虑的。 常见的指数型生成函数\(e^x\)的Tylor展开式\[ \begin{aligned} e^x \sum_{n0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} 1x\frac{x^2}{2!}\frac{x^3}{3!}\cdots \\ e^{kx}\ (k\not0)\sum_{n0}^{\infty}\frac{(kx)^n}{n!} 1kx\frac{(kx)^2}{2!}\frac{(kx)^3}{3!}\cdots \\ (e^xe^{-x})/2 \sum_{n0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!} 1\frac{x^2}{2!}\frac{x^4}{4!}\frac{x^6}{6!}\cdots \\ (e^x-e^{-x})/2 \sum_{n0}^{\infty}\frac{x^{2n1}}{(2n1)!} x\frac{x^3}{3!}\frac{x^5}{5!}\frac{x^7}{7!}\cdots \end{aligned} \] 例题 求由\(1,3,5,7,9\)这\(5\)个数字组成的\(n\)位数字的个数每个数字出现次数可以为\(0\)且\(3,7\)出现的次数为偶数。 设满足条件的\(r\)位数字的数目为\(a_r\)特别地规定\(a_01\)则序列\(a_0,a_1,a_2,\cdots\)的生成函数为\[ G_e(x)(1\frac{x^2}{2!}\frac{x^4}{4!}\cdots)^2(1\frac{x^2}{2!}\frac{x^3}{3!}\frac{x^4}{4!}\cdots)^3 \\ \because\quad \left\{\begin{aligned} (e^xe^{-x})/2 1\frac{x^2}{2!}\frac{x^4}{4!}\cdots\\ e^x 1\frac{x^2}{2!}\frac{x^3}{3!}\frac{x^4}{4!}\cdots \end{aligned}\right.\\ \begin{aligned} \therefore\quad G_e(x) \frac{1}{4}(e^xe^{-x})^2e^{3x}\\ \frac{1}{4}(e^{5x}2e^{3x}e^x)\\ \frac{1}{4}\sum_{n0}^{\infty}(5^n2*3^n1)*\frac{x^n}{n!} \end{aligned} \] 故\(a_n\frac{1}{4}(5^n2*3^n1)\)。 与多项式的结合应用 洛谷5162 推荐的文档 组合数学--生成函数与递推 朱全民 转载于:https://www.cnblogs.com/nosta/p/9438970.html