一、目的

掌握Matlab中函数求导、函数极值和极限问题的求解,能够借助Matlab工具对简单优化模型进行求解。

二、内容与设计思想

1、函数求导

1.1求解给定函数的一阶导数：diff(y, x)用于对变量x求y的导数。
1.2求解给定函数的二阶导数：在求出一阶导数的基础上对其进行再次求导，得出二阶导数。
1.3求解隐函数的导数
首先，通过定义符号变量建立隐函数模型。然后，使用diff函数对隐函数进行求导，得到一阶导数和二阶导数。再使用simplify函数简化导数表达式，使结果更为直观。最后，使用subs函数代入特定点的坐标，求解导数的实际值。

2、函数极值

2.1一元函数极值
1）先计算函数的一阶导数，并解出一阶导数等于零的所有点。由于题目要求区间 [-5, 1] 内的极值点，所以筛选掉了不在这个范围内的点。然后，计算所有有效极值点的函数值，并从中找到了最小的那个。最后打印这个最小值。
2）首先定义了总成本函数C(q)，然后基于这个函数构造了平均成本函数A(q)。接着，它计算了平均成本函数的一阶导数，并设置这个导数等于零来找到极值点。最后，它求解了这个方程，并输出了解析出来的产量q的值，这是使得平均成本达到最小的生产量。
2.2多元函数极值
initial = [0, 0];设定优化算法的初始点为 (0, 0)。这是算法开始搜索最优解的起点。
配置优化选项:使用optimoptions设置优化过程的选项，Display, iter：在每次迭代时输出当前状态，帮助跟踪优化过程，Algorithm, quasi-newton指定使用拟牛顿法。
使用fminunc函数对目标函数f进行优化，找到其最小值。返回值为最优点min_point和最小值min_value。
为了找到函数的最大值，定义了一个新的目标函数F，该函数是原函数f的负值。通过对负值进行最小化，间接地实现了最大化。再次使用fminunc函数来寻找最大值点和最大值。

三、实验使用环境

Matlab

四、实验步骤和调试过程

1、函数求导

1.1求解给定函数的一阶导数
代码如下：

结果如下：

1.2求解给定函数的二阶导数
代码如下：

首先定义符号变量x，接着在求出一阶导数的基础上对其进行再次求导，得出二阶导数。
结果如下：

1.3求解隐函数的导数
代码如下：

使用diff命令对方程两边同时取偏导数，得到关于y′的方程，即隐函数的一阶导数，再使用simple函数简化导数的表达式。
结果如下：

2、函数极值

2.1一元函数极值
1）代码如下：

首先定义符号变量 x，然后定义了一元函数 f。接着计算函数的一阶导数，并解出一阶导数等于零的所有点，且筛选掉了不在区间 [-5, 1] 内的点。接着计算所有有效极值点的函数值，并从中找到最小的那个。
结果如下：

2）代码如下：

首先定义平均成本A，即将总成本C除以产量q。然后，求取平均成本A对产量q的导数，以确定平均成本的极小值点。通过解方程导数为零的情况，找出使平均成本最低的产量解。接下来，筛选出所有正的解（因为产量不能为负），并将其转换为双精度数值。最后，检查是否找到了符合条件的解，如果找到了，则输出该产量及其对应的最低平均成本；如果没有找到，则输出相应的提示信息。
结果如下：

2.2多元函数极值
代码如下：

首先定义目标函数f，并设置一个初始点(0, 0)，为后续的优化算法提供起始位置。接下来，代码使用optimoptions配置优化选项，选择无约束优化的fminunc函数，并指定使用准牛顿法来提高收敛速度，同时设置显示选项为iter，以便在优化过程中输出迭代信息。再通过调用fminunc，寻找目标函数的最小值，返回最小值点和对应的最小值。为了寻找最大值，通过取负的方式定义了一个新的目标函数F。再次调用fminunc，这次用于寻找这个负函数的最小值，从而间接得到原函数的最大值。最终，输出最大值点和最大值的结果。结果如下：

五、小结

1、实验中遇到的问题

问题1：当使用solve()函数时，得到了符号解而不是数字解。
解决：添加了一些额外的检查以确保只有当在有效的正数解时才输出结果。并使用double()
函数将符号转换成双精度浮点数，以便它可以被num2str()接受。
问题2: 在求解高阶导数时，可能会遇到复杂度较高的方程组。
解决: 可以先简化方程，再逐步求解。

2、实验中产生的错误

错误1：梯度计算有误导致迭代方向错误。
原因：可能是数学推导或编码时出现了疏漏。
错误2：程序运行时间过长。
原因：可能是学习率设置不当，导致收敛速度慢。

3、实验体会和收获

在本次实验中，我学习了如何使用Matlab进行复杂的数学分析，掌握MATLAB的符号计算功能，特别是syms, diff, solve等命令的应用；加深了对于导数、极值点、极限等概念的理解，提升了编程技能；了解隐函数求导的方法，学会了如何通过调整参数来改进算法性能；加深了对梯度下降算法的理解。通过这次实验我提高了解决问题的能力，发现了理论知识与实践之间的差距，也认识到了理论指导实践的重要性。