事先声明,本文不适合对数据结构完全不懂的小白 请至少学会链表再阅读

        c# 数据结构 链表篇 有关单链表的一切_c# 链表-CSDN博客

数据结构理论先导:《数据结构（C 语言描述）》也许是全站最良心最通俗易懂最好看的数据结构课（最迟每周五更新~~）_哔哩哔哩_bilibili

代码随想录:

关于二叉树，你该了解这些！| 二叉树理论基础一网打尽，二叉树的种类、二叉树的存储方式、二叉树节点定义、二叉树的遍历顺序_哔哩哔哩_bilibili

        

目录

0.树基础概念

1.二叉树基础概念 BT B:Binary 

​编辑

2.普通二叉树存储/遍历/缺点

 存储方式

顺序存储:

 链式存储:

遍历方式

顺序存储遍历(递归)

链式存储遍历(递归)

插入方式及其缺点

        链式存储插入

        缺点

3.二叉搜索树 BST S:Search

        链式构建及其增删查改

        测试用例以及全部代码

4.平衡二叉树(AVL) BBT:   B:Balanced

        构建和插入

        删除

5.二叉树的线索化     

5.1设计线索化结构

5.2 线索化构建树 

5.3 线索化后中序遍历方法举例

   关于红黑树和b+树 下一篇数据结构 树篇 将会做出彻底详解 

---

0.树基础概念

        0和1是基础概念和一些性质 可以看个大概 知道有这么回事就行了 后面用到再回来想想是不是这么回事即可 

 叶子节点也算是子树 

树的性质

 解释:

结点的度 = 该节点下最大子树个数,也就是看有几个孩子

比如:A结点 有三个子树 即为三个孩子 ,B有两个孩子,K无孩子

解释: 

还是这棵树 i =1开始 

树的度 = 最大结点的度,也就是有最多孩子的结点的度

还是上面这棵树 最多孩子的度为A||D 所以 m = 3

第一层就是3的0次方 =1

第二层就是3的1次方 =3

第三层就是3的二次方 =9 (最大值)

1.二叉树基础概念 BT B:Binary 

 解释:

对于这个性质的解释:

 

2.普通二叉树存储/遍历/缺点

 存储方式

顺序存储:

        顺序存储需要注意的是让索引 i 从0

        

        特点是:依据其索引的特点 通过线性结构存储起来

        我用的是List(i=0开始)

public class Tree<T> : MonoBehaviour
{private List<T> bitTree = new List<T>();public void AddTree(T[] values){for(int i = 0; i < values.Length; i++){bitTree.Add(values[i]);}}
}

     Tree<char> tree = new Tree<char>();char[] values = { 'A', 'B', 'C', 'D' };tree.AddTree(values);

 链式存储:

特点为 =左右孩子指针 + 数据存储位

//节点暂时定义为char
public class TreeNode {public char Date;public TreeNode LeftNode;public TreeNode RightNode;public TreeNode(char Date, TreeNode LeftNode=null, TreeNode RightNode=null) {this.Date = Date;this.LeftNode =LeftNode;this.RightNode = RightNode;}

遍历方式

有三种分为前中后序

 前序特点：

就是先当前节点（如果从根节点开始），再左节点再右节点

中序特点：

先左，再当前，最后右

后序特点：

先左，再右，最后当前

顺序存储遍历(递归)

以前序为例 先构造树

再做递归

    //顺序遍历二叉树//前序public void Preorder(int index){if (index >= bitTree.Count)return;Debug.Log(bitTree[index]);int LeftNode = 2*index+1;int  RightNode = 2*index+2;Preorder(LeftNode);Preorder(RightNode);}//中序public void MiddleOrder(int index){if (index >= bitTree.Count)return;int LeftNode = 2 * index + 1;int RightNode = 2 * index + 2;MiddleOrder(LeftNode);Debug.Log(bitTree[index]);MiddleOrder(RightNode);}//后序public void AfterOrder(int index) {if (index >= bitTree.Count)return;int LeftNode = 2 * index + 1;int RightNode = 2 * index + 2;AfterOrder(LeftNode);AfterOrder(RightNode);Debug.Log(bitTree[index]);}

链式存储遍历(递归)

还是以前序遍历为例:

TreeNode rootNode = new TreeNode('A',new TreeNode('B',new TreeNode('D'), new TreeNode('E')),new TreeNode('C', new TreeNode('F')));rootNode.FirstRoot(rootNode);
Console.WriteLine();rootNode.MiddleRoot(rootNode);
Console.WriteLine();rootNode.AfterRoot(rootNode);
//节点暂时定义为char
public class TreeNode {public char Date;public TreeNode LeftNode;public TreeNode RightNode;public TreeNode(char Date, TreeNode LeftNode=null, TreeNode RightNode=null) {this.Date = Date;this.LeftNode =LeftNode;this.RightNode = RightNode;}//遍历方法 前public void FirstRoot(TreeNode treeNode){if (treeNode == null) return;Console.Write(treeNode.Date);FirstRoot(treeNode.LeftNode);FirstRoot(treeNode.RightNode);}//遍历方法 中public void MiddleRoot(TreeNode treeNode){if (treeNode == null) return;Console.Write(treeNode.Date);MiddleRoot(treeNode.LeftNode);MiddleRoot(treeNode.RightNode);}  //遍历方法 后public void AfterRoot(TreeNode treeNode){if (treeNode == null) return;AfterRoot(treeNode.LeftNode);AfterRoot(treeNode.RightNode);Console.Write(treeNode.Date);}
}

插入方式及其缺点

        链式存储插入

        我想给原来的二叉树的 2 6之间插入一个4

TreeNode root = new TreeNode(1);
root.LeftNode = new TreeNode(2);
root.RightNode = new TreeNode(3);
root.LeftNode.LeftNode = new TreeNode(6);
root.LeftNode.RightNode = new TreeNode(7);//节点暂时定义为char
public class TreeNode
{public int Date;public TreeNode LeftNode;public TreeNode RightNode;public TreeNode(int Date, TreeNode LeftNode = null, TreeNode RightNode = null){this.Date = Date;this.LeftNode = LeftNode;this.RightNode = RightNode;} 

我需要做的

// 创建新节点
TreeNode newNode = new TreeNode(4);// 在节点 2 的左子节点位置插入新节点 4
BinaryTree.InsertNode(root.LeftNode, true, newNode);

 public class BinaryTree{/// <summary>/// 值插入/// </summary>/// <param name="parent"></param>/// <param name="isLeft">是否是左子节点</param>/// <param name="newNode"></param>public static void InsertNode(TreeNode parent, bool isLeft, TreeNode newNode){if (isLeft){newNode.LeftNode = parent.LeftNode;parent.LeftNode = newNode;}else{newNode.RightNode = parent.RightNode;parent.RightNode = newNode;}}}

        缺点

        发现了没有和他娘的链表似的: 

        无法利用 “值的顺序” 进行高效操作  

        比如搜索某个值（如查找 4）时，只能从根节点开始遍历整个树（如广度优先或深度优先搜索），时间复杂度为 O(n)，和链表无异

         插入逻辑不通用：插入节点 4 到节点 2 的左子节点，依赖于手动指定父子关系，没有统一的规则,如果树结构复杂，插入位置的选择会非常随意，导致树的高度不平衡（如退化成链表）

        于是有了下面这个玩意 二叉搜索树

3.二叉搜索树 BST S:Search

        数据结构合集 - 二叉搜索树(二叉排序树)(二叉查找树)_哔哩哔哩_bilibili

        特点 左子树Data小于根Data   右子树Data 大于根Data

操作	最好时间复杂度	最坏时间复杂度
查找（Search）	O(log n)	O(n)
插入（Insert）	O(log n)	O(n)
删除（Delete）	O(log n)	O(n)
空间复杂度	O(n)	{O (n)（存储所有节点，与树的形态无关）}

        存储方式还是有链式和顺序 我倾向于链式 因为比较简单和清晰 所以拿此举例

        链式构建及其增删查改

            构建

public class TreeNode { public int value; public TreeNode Left; public TreeNode Right;public TreeNode(int value, TreeNode left = null, TreeNode right = null) {this.value = value;this.Left = left;this.Right = right;}
}public class BinarySearchTree
{public TreeNode root;public BinarySearchTree(){root = null;}

        增加 

    //增加节点public void Insert(int value) { InsertTrueMethod(root, value);}/// <summary>/// 递归查找插入位置/// </summary>/// <param name="node">插入的节点</param>/// <param name="val">插入的值</param>private TreeNode InsertTrueMethod(TreeNode node, int value){if (node == null){return new TreeNode(value);}//如果插入值 小于 节点值，则在左子树中插入if (value < node.value){node.Left = InsertTrueMethod(node.Left, value);}//如果插入值 大于 节点值，则在右子树中插入else if (value > node.value){node.Right = InsertTrueMethod(node.Right, value);}//如果找到了相同的值，则不插入return node;}

        删除

    private TreeNode DeleteTrueMethod(TreeNode node, int value){//如果树为空，则直接返回空if (node == null){return null;}//如果删除值 小于 节点值，则在左子树找if (value < node.value){node.Left = DeleteTrueMethod(node.Left, value);}//如果删除值 大于 节点值，则在右子树else if (value > node.value){node.Right = DeleteTrueMethod(node.Right, value);}//如果找到了相同的值，则删除该节点else{//如果该节点没有子节点，则直接删除该节点if (node.Left == null && node.Right == null){node = null;}//如果该节点只有一个子节点，则直接用该节点的子节点替换该节点else if (node.Left == null){node = node.Right;}else if (node.Right == null){node = node.Left;}// 如果该节点有两个子节点，此时有两种常见的替换策略：// 可以选择该节点右子树中的最小节点，也可以选择左子树中的最大节点。// 这里我们采用选择右子树中最小节点的策略。选择右子树最小节点（或者左子树最大节点）的目的是// 为了保证替换后仍然满足二叉搜索树的性质：左子树所有节点值小于根节点值，右子树所有节点值大于根节点值。// 步骤为：先找到右子树的最小节点，用其值替换当前要删除节点的值，// 然后再递归地从右子树中删除这个最小节点。else{TreeNode minNode = GetMinNode(node.Right);node.value = minNode.value;node.Right = DeleteTrueMethod(node.Right, minNode.value);}}return node;}//获取节点方法private TreeNode GetMinNode(TreeNode node){while (node.Left != null){node = node.Left;}return node;}

        测试用例以及全部代码

        注释进行了简单的修改

using System;
BinarySearchTree bst = new BinarySearchTree();// 测试用例 1：删除叶子节点
int[] values1 = { 50, 30, 20, 40, 70, 60, 80 };
foreach (var val in values1) bst.Insert(val);
//Console.WriteLine("删除前（用例1）:");
//bst.InOrderTraversal(bst.root); // 输出：20 30 40 50 60 70 80 
//bst.Delete(20);
//Console.WriteLine("删除后（用例1-叶子节点）:");
//bst.InOrderTraversal(bst.root); // 预期：30 40 50 60 70 80 测试用例 2：删除单子节点
//BinarySearchTree bst2 = new BinarySearchTree();
//int[] values2 = { 50, 30, 40 };
//foreach (var val in values2) bst2.Insert(val);
//bst2.Delete(30);
//Console.WriteLine("删除后（用例2-单子节点）:");
//bst2.InOrderTraversal(bst2.root); // 预期：40 50 测试用例 3：删除双子节点
BinarySearchTree bst3 = new BinarySearchTree();
int[] values3 = { 50, 30, 20, 40, 70, 60, 80 };
foreach (var val in values3) bst3.Insert(val);
bst3.Delete(50);
Console.WriteLine("删除后（用例3-双子节点）:");
bst3.InOrderTraversal(bst3.root); // 预期：20 30 40 60 70 80 
public class TreeNode
{public int value;public TreeNode Left;public TreeNode Right;public TreeNode(int value, TreeNode left = null, TreeNode right = null){this.value = value;this.Left = left;this.Right = right;}
}public class BinarySearchTree
{public TreeNode root;public BinarySearchTree(){root = null;}// 增加节点public void Insert(int value){root = InsertTrueMethod(root, value); }private TreeNode InsertTrueMethod(TreeNode node, int value){if (node == null)return new TreeNode(value);if (value < node.value)node.Left = InsertTrueMethod(node.Left, value);else if (value > node.value)node.Right = InsertTrueMethod(node.Right, value);return node;}public void Delete(int value){root = DeleteTrueMethod(root, value);}private TreeNode DeleteTrueMethod(TreeNode node, int value){//先找到待删除节点if (node == null) return null;if (value < node.value)node.Left = DeleteTrueMethod(node.Left, value);else if (value > node.value)node.Right = DeleteTrueMethod(node.Right, value);else {//找到以后分为三种情况//1. 叶子节点if (node.Left == null && node.Right == null)node = null;//2. 单子节点else if (node.Left == null)node = node.Right;else if (node.Right == null)node = node.Left;else{//3. 双子节点 找到右子树最小节点(或者左子树最大节点 替换待删除节点 然后递归删除右子树最小节点, 或者左子树最大节点)TreeNode minNode = GetRightMinNode(node.Right);node.value = minNode.value;node.Right = DeleteTrueMethod(node.Right, minNode.value);}}return node;}private TreeNode GetRightMinNode(TreeNode node){while (node.Left != null) node = node.Left;return node;}public void InOrderTraversal(TreeNode node){if (node == null) return;InOrderTraversal(node.Left);Console.Write(node.value + " "); InOrderTraversal(node.Right);if (node == root) Console.WriteLine(); }
}

        但是还是有一个问题 如果数据本来就有序 那构建二叉搜索树会成为一条线

         

        所以为了解决这个问题 有了下面这个平衡二叉树

4.平衡二叉树(AVL) BBT:   B:Balanced

        建议直接看视频 平衡二叉树(AVL树)_哔哩哔哩_bilibili

        这个东西是比较抽象的 而且情况也比较多 下图来自 b站 @帕拉迪克

        平衡因子:Balanced Factor

        上代码

        构建和插入

using System;//测试结果
AVLTree tree = new AVLTree();
int[] values = { 5,3,4};foreach (int value in values) {tree.Insert(value);
}tree.InOrderTraversal(tree.root);
// 定义 AVL 树节点类
public class TreeNode
{public int Value;       public TreeNode Left;     public TreeNode Right;    public int Height;        public TreeNode(int value){Value = value;Height = 1; // 新节点初始高度为1}
}public class AVLTree
{public TreeNode root;//获取传入节点的高度 private int GetHight(TreeNode node) { return node == null? 0 : node.Height;}//计算平衡因子 让传入节点的左子树 - 右子树高度 private int ComputeBalanceFactor(TreeNode node) { if(node == null ) return 0;int BalanceFactor = GetHight(node.Left) - GetHight(node.Right);return BalanceFactor;}//右旋 右旋父节点,然后将冲突的右放在旋转后的父节点的左子树private TreeNode RightRotate(TreeNode father) { //找到左子树节点和新插入节点TreeNode leftChild = father.Left;TreeNode conflict = leftChild.Right;//旋转leftChild.Right =  father; //原父节点弄到左子树的右边father.Left = conflict; //冲突的弄到原父节点的左边//更新高度 先更新一下原来的父节点的高度 再更新一下现在的父节点的高度father.Height = Math.Max(GetHight(father.Left), GetHight(father.Right)) + 1;leftChild.Height = Math.Max(GetHight(leftChild.Left), GetHight(leftChild.Right)) + 1;//返回旋转后的父节点return leftChild;}//左旋 左旋父节点,然后将冲突的左放在旋转后的父节点的右子树private TreeNode LeftRotate(TreeNode father){//找到右子树节点和新插入节点TreeNode rightChild = father.Right;TreeNode conflict = rightChild.Left;//旋转rightChild.Left = father; //原父节点弄到右子树的左边father.Right = conflict; //冲突的弄到原父节点的右边//更新高度 先更新一下原来的父节点的高度 再更新一下现在的父节点的高度father.Height = Math.Max(GetHight(father.Left), GetHight(father.Right)) + 1;rightChild.Height = Math.Max(GetHight(rightChild.Left), GetHight(rightChild.Right)) + 1;//返回旋转后的父节点return rightChild;}public void Insert(int value){root = InsertTrueMethod(root, value);}private TreeNode InsertTrueMethod(TreeNode root, int value){//BST插入 空创建 左右递归插入 重复值不插入if (root == null)return new TreeNode(value);if (value < root.Value)root.Left = InsertTrueMethod(root.Left, value); //递归+更新+平衡else if (value > root.Value)root.Right = InsertTrueMethod(root.Right, value);//递归+更新+平衡else return root;//更新高度root.Height = Math.Max(GetHight(root.Left), GetHight(root.Right)) + 1;//计算平衡因子int balanceFactor = ComputeBalanceFactor(root);//根据平衡因子判断怎么转//LL型 右旋  value < root.Left.Value:验证新节点确实插入在左子树的左侧if (balanceFactor > 1 && value < root.Left.Value)return RightRotate(root);//RR型 左旋if (balanceFactor < -1 && value > root.Right.Value)return LeftRotate(root);//LR型 先左旋再右旋if (balanceFactor > 1 && value > root.Left.Value){root.Left = LeftRotate(root.Left);return RightRotate(root);}//RL型 先右旋再左旋if (balanceFactor < -1 && value < root.Right.Value){root.Right = RightRotate(root.Right);return LeftRotate(root);}//不用旋返回根节点return root;}//中序遍历public void InOrderTraversal(TreeNode root){if (root == null)return;InOrderTraversal(root.Left);Console.WriteLine(root.Value);InOrderTraversal(root.Right);}
}

        删除

    // 删除指定值的节点public void Delete(int value){root = DeleteNode(root, value);}private TreeNode DeleteNode(TreeNode root, int value){// 如果根节点为空，直接返回 nullif (root == null)return root;// 如果要删除的值小于当前节点的值，递归删除左子树中的节点if (value < root.Value)root.Left = DeleteNode(root.Left, value);// 如果要删除的值大于当前节点的值，递归删除右子树中的节点else if (value > root.Value)root.Right = DeleteNode(root.Right, value);// 找到要删除的节点else{// 情况 1: 节点没有子节点或只有一个子节点if (root.Left == null || root.Right == null){TreeNode temp = root.Left ?? root.Right;// 如果没有子节点，直接删除该节点if (temp == null){root = null;}else{// 用子节点替换当前节点root = temp;}}// 情况 2: 节点有两个子节点else{// 找到右子树中的最小节点TreeNode temp = MinValueNode(root.Right);// 用最小节点的值替换当前节点的值root.Value = temp.Value;// 递归删除右子树中的最小节点root.Right = DeleteNode(root.Right, temp.Value);}}// 如果删除后树为空，直接返回 nullif (root == null)return root;// 更新节点高度root.Height = Math.Max(GetHight(root.Left), GetHight(root.Right)) + 1;// 计算平衡因子int balanceFactor = ComputeBalanceFactor(root);// LL 型失衡，进行右旋操作if (balanceFactor > 1 && ComputeBalanceFactor(root.Left) >= 0)return RightRotate(root);// LR 型失衡，先对左子树进行左旋，再对根节点进行右旋if (balanceFactor > 1 && ComputeBalanceFactor(root.Left) < 0){root.Left = LeftRotate(root.Left);return RightRotate(root);}// RR 型失衡，进行左旋操作if (balanceFactor < -1 && ComputeBalanceFactor(root.Right) <= 0)return LeftRotate(root);// RL 型失衡，先对右子树进行右旋，再对根节点进行左旋if (balanceFactor < -1 && ComputeBalanceFactor(root.Right) > 0){root.Right = RightRotate(root.Right);return LeftRotate(root);}return root;}// 找到以给定节点为根的子树中的最小节点private TreeNode MinValueNode(TreeNode node){TreeNode current = node;// 不断向左遍历，直到找到最左边的节点while (current.Left != null)current = current.Left;return current;}

        看起来有点难度实际上熟悉以后你会发现其编写都是套路 多读几遍就好了

        递归递归递归,你会发现二叉树一直在做这个动作 那么有没有一种方式脱离它呢?

        有的兄弟 有的 :线索化二叉树

5.二叉树的线索化     

        线索化二叉树的设计思想是：

        将空的指针（Left 或 Right）利用起来，不再指向子树（因为子树为空），而是指向该节点在中序遍历中的前驱或后继节点

        这样做可以在后续遍历中，不依赖递归或栈，直接通过线索找到前后节点

        画图,逻辑思想

        下为代码解释

5.1设计线索化结构

        其中LeftIsThread 和 RightIsThread 是指当前Left和Right是否为空

public class ThreadedNode<T>
{public T Data { get; set; }public ThreadedNode<T> Left { get; set; }public ThreadedNode<T> Right { get; set; }// 标志位：false表示指向子节点，true表示线索public bool LeftIsThread { get; set; }public bool RightIsThread { get; set; }public ThreadedNode(T data){this.Data = data;this.Left = null;this.Right = null;this.LeftIsThread = false;this.RightIsThread = false;}
}

5.2 线索化构建树 

public class ThreadedBinaryTree<T>
{private ThreadedNode<T> _root;private ThreadedNode<T> _pre; // 记录前驱节点// 线索化核心逻辑（中序）private void ThreadNodes(ThreadedNode<T> node){if (node == null) return;// 递归线索化左子树ThreadNodes(node.Left);// 处理当前节点的前驱if (node.Left == null){node.Left = _pre;node.LeftIsThread = true; // 标记为线索}// 处理前驱节点的后继if (_pre != null && _pre.Right == null){_pre.Right = node;_pre.RightIsThread = true;}_pre = node; // 更新前驱// 递归线索化右子树ThreadNodes(node.Right);}public void BuildThreadedTree(ThreadedNode<T> root){_root = root;_pre = null;ThreadNodes(root);}}

5.3 线索化后中序遍历方法举例

// 中序遍历（利用线索）public void InOrderTraversal(){ThreadedNode<T> current = _root;while (current != null){// 找到最左节点while (!current.LeftIsThread){current = current.Left;}Console.Write(current.Data + " ");// 根据后继线索遍历while (current.RightIsThread){current = current.Right;Console.Write(current.Data + " ");}current = current.Right;}

   关于红黑树和b+树 下一篇数据结构 树篇 将会做出彻底详解