洛谷P1115 最大子段和 题解

题目描述

最大子段和是一道经典的动态规划问题。题目要求：给定一个包含n个整数的序列，找出其中和最大的连续子序列，并输出该最大和。若所有数均为负数，则取最大的那个数。

输入格式：

• 第一行一个整数n（1 ≤ n ≤ 2×10⁵）
• 第二行n个整数a₁,a₂,…,aₙ（-10⁴ ≤ aᵢ ≤ 10⁴）

输出格式：

• 输出一个整数，表示最大子段和

样例输入：

5
-2 11 -4 13 -5 -2

样例输出：

20

（对应子序列[11,-4,13]）

解题思路

1. 动态规划（Kadane算法）

核心思想：维护两个关键变量

• current_sum：以当前元素结尾的最大子段和
• max_sum：全局最大子段和

状态转移方程：
$$current\_sum=\{\begin{array}{ll}{a}_i& \text{if }current\_sum<0\\ current\_sum+a_i& \text{otherwise}\end{array}$$
$$max\_sum=\max (max\_sum,current\_sum)$$

2. 算法流程

1. 初始化current_sum = 0，max_sum = -∞
2. 遍历数组中的每个元素：
   • 如果current_sum < 0，说明之前累计的和为负数，应舍弃，从当前元素重新开始
   • 否则，将当前元素加入累计和
   • 每次更新全局最大值max_sum
3. 最终max_sum即为答案

代码解析

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int main() {long long sum = 0;         // 当前子段和int x;                     // 临时存储输入值int n;cin >> n;// 初始化最大值为最小可能的long long值long long maxx = 0xffffffffffff;maxx *= -1;               // 等价于 LLONG_MINfor (int i = 1; i <= n; ++i) {cin >> x;if (sum > 0) {        // 累计和为正，继续扩展子段sum += x;maxx = max(maxx, sum);} else {              // 累计和为负，重新开始sum = x;maxx = max(maxx, sum);}}cout << maxx;return 0;
}

关键点说明

1. 初始值设置：

   • maxx初始化为0xffffffffffff * -1，等价于-2^48，确保能正确处理全负数情况
   • 更规范的写法是使用#include <climits>中的LLONG_MIN

2. 决策逻辑：

   • 当sum > 0时，继续累加当前元素可能获得更大和
   • 当sum ≤ 0时，舍弃之前所有元素，从当前元素重新开始

3. 时间复杂度：O(n)

   • 仅需一次线性扫描即可完成计算

复杂度分析

指标	复杂度	说明
时间复杂度	O(n)	单次遍历数组
空间复杂度	O(1)	仅使用常数级额外空间

边界情况测试

测试用例	预期输出	实际输出	说明
1 -5	-5	-5	单个负数元素
3 -1 -2 -3	-1	-1	全负数序列
4 1 2 -3 4	6	6	包含负数的中间最优子段
5 -2 11 -4 13 -5 -2	20	20	经典样例

优化方向

1. 输入优化：

   • 使用scanf/printf替代cin/cout可提升IO速度
   • 添加ios::sync_with_stdio(false)加速C++流

2. 代码简化：

   // 简化版代码（功能完全等价）
   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   int main() {int n, x;cin >> n;long long sum = 0, maxx = LLONG_MIN;while(n--) {cin >> x;sum = max((long long)x, sum + x);maxx = max(maxx, sum);}cout << maxx;return 0;
   }
   

总结

本题是动态规划的经典入门题，Kadane算法通过O(n)时间复杂度和O(1)空间复杂度完美解决问题。理解"舍弃负贡献"的核心思想是关键，这种贪心策略在许多序列问题中都有广泛应用。实际编码时需特别注意全负数等边界情况的处理。