滚动hash

滚动哈希（rolling hash）也叫 Rabin-Karp 字符串哈希算法，它是将某个字符串看成某个进制下的整数，并将其对应的十进制整数作为hash值。

滚动hash算法的推导

假设有一个长度为n的数组a[0],a[1],a[2],…a[n-1]，数组中的最大值为ma, 我们选取进制k满足k>ma,将数组a看成是n位k进制整数，那么其对应的10进制整数为：

$$\sum _{i=0}^{n-1}a[i]\ast k^{n-1-i}$$

这样一来，在子数组长度固定的前提下，给定进制 k，子数组与其十进制值满足「一一对应」的关系，即不会有两个不同的子数组，它们的十进制值相同。因此滚动哈希得到的哈希值是可以表示原子数组的。

滚动哈希的一大优势在于，如果我们需要求出一个数组中长度为 len 的所有子数组的哈希值，需要的时间仅为线性，即如果我们已经计算出数组中以 j 开始的子数组的哈希值：

$$hash(j)=\sum _{i=0}^{len-1}a[j+i]\ast k^{len-1-i}$$

那么要计算以 j+1 开始的子数组的哈希值，我们通过公式推导：

$$\begin{array}{rl}hash(j+1)& =\sum _{i=0}^{len-1}a[j+1+i]\ast k^{len-1-i}\\ & =\sum _{i=1}^{len}a[j+i]\ast k^{len-i}\\ & =k(\sum _{i=1}^{len}a[j+i]\ast k^{len-1-i})\\ & =k(hash(j)-a[j]\ast k^{len-1}+a[j+len]\ast k^{-1})\\ & =k\ast hash(j)-a[j]\ast k^{len}+a[j+len]\end{array}$$

就可以在$\varphi (1)$的时间内得到该值。

利用滚动hash算法计算最长公共子路径的代码示例如下:

上述代码的执行效率较低，以下代码通过二分法优化，可以有效降低代码的时间复杂度：

def longest_common_subpath_2(n: int, paths: List[List[int]]) -> int:mod = (10 ** 9 + 7) * (10 ** 9 + 9)base = 10 ** 6 + 3# get min len of pathsmin_len = len(min(paths, key=lambda x: len(x)))def check(x: int) -> bool:k = pow(base, x, mod)hash_values = defaultdict(int)for path in paths:cnt = Counter()hash_value = 0for i in range(x):hash_value = (hash_value * base + path[i]) % modcnt[hash_value] += 1hash_values[hash_value] += 1for i in range(x, len(path)):hash_value = (hash_value * base + path[i] - path[i - x] * k) % modif hash_value not in cnt:cnt[hash_value] += 1hash_values[hash_value] += 1return max(hash_values.values(), default=0) == len(paths)l, r, ans = 1, min_len, 0while l <= r:mid = (l + r) >> 1if check(mid):ans = midl = mid + 1else:r = mid - 1return ans