西安外贸网站建设,做英语quiz的网站,网站策划的具体内容是什么,乐之网站制作文章目录 [toc] 二维随机向量及其分布随机向量离散型随机向量的概率分布律性质示例问题解答 连续型随机向量的概率密度函数随机向量的分布函数性质连续型随机向量均匀分布 边缘分布边缘概率分布律边缘概率密度函数二维正态分布示例问题解答 边缘分布函数 二维随机向量及其分布 … 文章目录 [toc] 二维随机向量及其分布随机向量离散型随机向量的概率分布律性质示例问题解答 连续型随机向量的概率密度函数随机向量的分布函数性质连续型随机向量均匀分布 边缘分布边缘概率分布律边缘概率密度函数二维正态分布示例问题解答 边缘分布函数 二维随机向量及其分布 随机向量 一般地称 n n n个随机变量的整体 X ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) X (X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}) X(X1​,X2​,⋯,Xn​)为 n n n维随机向量 离散型随机向量的概率分布律 设二维离散型随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的所有可能取值的集合为 G { ( x i , y j ) , i , j 1 , 2 , ⋯ } G \set{(x_{i}, y_{j}) , i, j 1, 2, \cdots} G{(xi​,yj​),i,j1,2,⋯}并记 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)取各个可能取值的概率为 p i j P { X x i , Y y j } , i , j 1 , 2 , ⋯ p_{ij} P\set{X x_{i} , Y y_{j}} , i, j 1, 2, \cdots pij​P{Xxi​,Yyj​},i,j1,2,⋯称为二维离散型随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的概率分布律或称为 X X X Y Y Y的联合分布律 性质 p i j ≥ 0 ( i , j 1 , 2 , ⋯ ) p_{ij} \geq 0 (i, j 1, 2, \cdots) pij​≥0(i,j1,2,⋯) ∑ i ∑ j p i j 1 \sum\limits_{i}\sum\limits_{j}{p_{ij}} 1 i∑​j∑​pij​1 满足上述 2 2 2个性质的数集 { p i j , i , j 1 , 2 , ⋯ } \set{p_{ij} , i, j 1, 2, \cdots} {pij​,i,j1,2,⋯}必可构成某二维离散型随机向量的一个分布律 示例 问题 某盒内放有 12 12 12个大小相同的球其中 5 5 5个红球 4 4 4个白球 3 3 3个黑球第一次随机地摸出 2 2 2个球观察后不放回第二次再取出 3 3 3个球以 X i X_{i} Xi​表示第 i i i次取到红球的数目 i 1 , 2 i 1, 2 i1,2求 ( X 1 , X 2 ) (X_{1}, X_{2}) (X1​,X2​)的分布律 解答 P { X 1 i , X 2 j } P { X 1 i } P { X 2 j ∣ X 1 i } C 5 i C 7 2 − i C 12 2 × C 5 − i j C 5 i 3 − j C 10 3 ( i 0 , 1 , 2 , j 0 , 1 , 2 , 3 ) P\set{X_{1} i , X_{2} j} P\set{X_{1} i} P\set{X_{2} j | X_{1} i} \frac{C_{5}^{i} C_{7}^{2 - i}}{C_{12}^{2}} \times \frac{C_{5 - i}^{j} C_{5 i}^{3 - j}}{C_{10}^{3}} (i 0, 1, 2 , j 0, 1, 2, 3) P{X1​i,X2​j}P{X1​i}P{X2​j∣X1​i}C122​C5i​C72−i​​×C103​C5−ij​C5i3−j​​(i0,1,2,j0,1,2,3) 连续型随机向量的概率密度函数 设二维随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)若存在非负可积函数 f ( x , y ) ( − ∞ x , y ∞ ) f(x, y) (- \infty x, y \infty) f(x,y)(−∞x,y∞)使得对任意实数对 a 1 ≤ b 1 a_{1} \leq b_{1} a1​≤b1​ a 2 ≤ b 2 a_{2} \leq b_{2} a2​≤b2​都有 P { a 1 ≤ X ≤ b 1 , a 2 ≤ Y ≤ b 2 } ∫ a 1 b 1 ∫ a 2 b 2 f ( x , y ) d x d y P\set{a_{1} \leq X \leq b_{1} , a_{2} \leq Y \leq b_{2}} \int_{a_{1}}^{b_{1}}\int_{a_{2}}^{b_{2}}{f(x, y) dx dy} P{a1​≤X≤b1​,a2​≤Y≤b2​}∫a1​b1​​∫a2​b2​​f(x,y)dxdy则称 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)为二维连续型随机向量称 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)为 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的概率密度函数或 X X X和 Y Y Y的联合概率密度函数简称联合概率密度 随机向量的分布函数 设 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)是二维随机向量对于任意实数 x x x y y y称二元函数 F ( x , y ) P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) P\set{X \leq x , Y \leq y} F(x,y)P{X≤x,Y≤y}为二维随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的分布函数或随机变量 X X X Y Y Y的联合分布函数对于任意的实数 x 1 x_{1} x1​ x 2 x_{2} x2​ y 1 y_{1} y1​ y 2 y_{2} y2​ x 1 x 2 x_{1} x_{2} x1​x2​ y 1 y 2 y_{1} y_{2} y1​y2​随机点 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)落入矩形区域 G { ( X , Y ) ∣ x 1 X ≤ x 2 , y 1 Y ≤ y 2 } G \set{(X, Y) | x_{1} X \leq x_{2} , y_{1} Y \leq y_{2}} G{(X,Y)∣x1​X≤x2​,y1​Y≤y2​}内的概率可由分布函数表示为 P { x 1 X ≤ x 2 , y 1 Y ≤ y 2 } F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) F ( x 1 , y 1 ) P\set{x_{1} X \leq x_{2} , y_{1} Y \leq y_{2}} F(x_{2}, y_{2}) - F(x_{2}, y_{1}) - F(x_{1}, y_{2}) F(x_{1}, y_{1}) P{x1​X≤x2​,y1​Y≤y2​}F(x2​,y2​)−F(x2​,y1​)−F(x1​,y2​)F(x1​,y1​) 性质 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y)对每个自变量是单调不减函数即对任意固定的 y y y若 x 1 x 2 x_{1} x_{2} x1​x2​则 F ( x 1 , y ) ≤ F ( x 2 , y ) F(x_{1}, y) \leq F(x_{2}, y) F(x1​,y)≤F(x2​,y) F ( − ∞ , y ) lim ⁡ x → − ∞ F ( x , y ) 0 F(- \infty, y) \lim\limits_{x \rightarrow - \infty}{F(x, y)} 0 F(−∞,y)x→−∞lim​F(x,y)0 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y)对每个自变量都是右连续的即 F ( x 0 , y ) F ( x , y ) F(x 0, y) F(x, y) F(x0,y)F(x,y) F ( x , y 0 ) F ( x , y ) F(x, y 0) F(x, y) F(x,y0)F(x,y) 对于任意的 ( x 1 , y 1 ) (x_{1}, y_{1}) (x1​,y1​) ( x 2 , y 2 ) (x_{2}, y_{2}) (x2​,y2​)若 x 1 x 2 x_{1} x_{2} x1​x2​ y 1 y 2 y_{1} y_{2} y1​y2​则 F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) F ( x 1 , y 1 ) ≥ 0 F(x_{2}, y_{2}) - F(x_{2}, y_{1}) - F(x_{1}, y_{2}) F(x_{1}, y_{1}) \geq 0 F(x2​,y2​)−F(x2​,y1​)−F(x1​,y2​)F(x1​,y1​)≥0 连续型随机向量 对于二维连续型随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)可以证明若 D D D是 x O y xOy xOy平面上一个可度量的平面区域则有 P { ( X , Y ) ∈ D } ∬ D f ( x , y ) d x d y P\set{(X, Y) \in D} \iint\limits_{D}{f(x, y) dx dy} P{(X,Y)∈D}D∬​f(x,y)dxdy 若概率密度 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)在点 ( x , y ) (x, y) (x,y)处连续则有 ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y f ( x , y ) \frac{\partial^{2}{F(x, y)}}{\partial{x} \partial{y}} f(x, y) ∂x∂y∂2F(x,y)​f(x,y) 均匀分布 设二维随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) { 1 S D , ( x , y ) ∈ D 0 , ( x , y ) ∉ D f(x, y) \begin{cases} \cfrac{1}{S_{D}} , (x, y) \in D \\ 0 , (x, y) \notin D \end{cases} f(x,y)⎩ ⎨ ⎧​SD​1​,0,​(x,y)∈D(x,y)∈/D​ 则称 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)服从区域 D D D上的均匀分布 边缘分布 边缘概率分布律 二维离散型随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的两个分量 X X X与 Y Y Y的概率分布律分别称为随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)关于 X X X Y Y Y的边缘概率分布律 p i ⋅ P { X x i } ∑ j p i j ( i 1 , 2 , ⋯ ) p_{i \cdot} P\set{X x_{i}} \sum\limits_{j}{p_{ij}} (i 1, 2, \cdots) pi⋅​P{Xxi​}j∑​pij​(i1,2,⋯) p ⋅ j P { Y y j } ∑ i p i j ( j 1 , 2 , ⋯ ) p_{\cdot j} P\set{Y y_{j}} \sum\limits_{i}{p_{ij}} (j 1, 2, \cdots) p⋅j​P{Yyj​}i∑​pij​(j1,2,⋯) 由联合分布律可以唯一确定边缘分布律反之则不然 边缘概率密度函数 二维连续型随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)关于其分量 X X X Y Y Y的概率密度分别记为 f X ( x ) f_{X}(x) fX​(x) f Y ( y ) f_{Y}(y) fY​(y)分别称 f X ( x ) f_{X}(x) fX​(x) f Y ( y ) f_{Y}(y) fY​(y)为 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)关于 X X X Y Y Y的边缘概率密度函数简称边缘概率密度 f X ( x ) ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y f_{X}(x) \int_{- \infty}^{ \infty}{f(x, y) dy} fX​(x)∫−∞∞​f(x,y)dy f Y ( y ) ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x f_{Y}(y) \int_{- \infty}^{ \infty}{f(x, y) dx} fY​(y)∫−∞∞​f(x,y)dx 二维正态分布 若二维连续型随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的概率密度为 f ( x , y ) 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 exp ⁡ { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ] } ( − ∞ x ∞ , − ∞ y ∞ ) f(x, y) \cfrac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1 - \rho^{2}}} \exp\left\{- \cfrac{1}{2 (1 - \rho^{2})} \left[\cfrac{(x - \mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2 \rho \cfrac{(x - \mu_{1}) (y - \mu_{2})}{\sigma_{1} \sigma_{2}} \cfrac{(y - \mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right]\right\} (- \infty x \infty , - \infty y \infty) f(x,y)2πσ1​σ2​1−ρ2 ​1​exp{−2(1−ρ2)1​[σ12​(x−μ1​)2​−2ρσ1​σ2​(x−μ1​)(y−μ2​)​σ22​(y−μ2​)2​]}(−∞x∞,−∞y∞) 其中 μ 1 \mu_{1} μ1​ μ 2 \mu_{2} μ2​ σ 1 \sigma_{1} σ1​ σ 2 \sigma_{2} σ2​ ρ \rho ρ均为常数且 σ 1 0 \sigma_{1} 0 σ1​0 σ 2 0 \sigma_{2} 0 σ2​0 ∣ ρ ∣ 1 |\rho| 1 ∣ρ∣1则称 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)服从参数为 μ 1 \mu_{1} μ1​ μ 2 \mu_{2} μ2​ σ 1 2 \sigma_{1}^{2} σ12​ σ 2 2 \sigma_{2}^{2} σ22​ ρ \rho ρ的二维正态分布记为 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) (X, Y) \sim N(\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho) (X,Y)∼N(μ1​,μ2​,σ12​,σ22​,ρ) 示例 问题 求二维正态随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)关于 X X X Y Y Y的边缘概率密度 解答 ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ( y − μ 2 σ 2 − ρ x − μ 1 σ 1 ) 2 ( 1 − ρ 2 ) ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2 \rho \frac{(x - \mu_{1}) (y - \mu_{2})}{\sigma_{1} \sigma_{2}} \frac{(y - \mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^{2}} (\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} - \rho \frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}})^{2} (1 - \rho^{2}) \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}} σ12​(x−μ1​)2​−2ρσ1​σ2​(x−μ1​)(y−μ2​)​σ22​(y−μ2​)2​(σ2​y−μ2​​−ρσ1​x−μ1​​)2(1−ρ2)σ12​(x−μ1​)2​ 令 t 1 1 − ρ 2 ( y − μ 2 σ 2 − ρ x − μ 1 σ 1 ) t \frac{1}{\sqrt{1 - \rho^{2}}} (\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} - \rho \frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}}) t1−ρ2 ​1​(σ2​y−μ2​​−ρσ1​x−μ1​​) d y σ 2 1 − ρ 2 d t dy \sigma_{2} \sqrt{1 - \rho^{2}} dt dyσ2​1−ρ2 ​dt f X ( x ) ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 e − ( x − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 ∫ − ∞ ∞ e − 1 2 ( 1 − ρ ) 2 ( y − μ 2 σ 2 − ρ x − μ 1 σ 1 ) 2 d y 1 2 π σ 1 e − ( x − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 ∫ − ∞ ∞ e − t 2 2 d t 1 2 π σ 1 e − ( x − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 , − ∞ x ∞ \begin{aligned} f_{X}(x) \int_{- \infty}^{ \infty}{f(x, y) dy} \\ \cfrac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1 - \rho^{2}}} e^{- \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} \int_{- \infty}^{ \infty}{e^{- \frac{1}{2 (1 - \rho)^{2}} (\frac{y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} - \rho \frac{x - \mu_{1}}{\sigma_{1}})^{2}} dy} \\ \cfrac{1}{2 \pi \sigma_{1}} e^{- \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} \int_{- \infty}^{ \infty}{e^{- \frac{t^{2}}{2}} dt} \\ \cfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} e^{- \frac{(x - \mu_{1})^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}} , - \infty x \infty \end{aligned} fX​(x)​∫−∞∞​f(x,y)dy2πσ1​σ2​1−ρ2 ​1​e−2σ12​(x−μ1​)2​∫−∞∞​e−2(1−ρ)21​(σ2​y−μ2​​−ρσ1​x−μ1​​)2dy2πσ1​1​e−2σ12​(x−μ1​)2​∫−∞∞​e−2t2​dt2π ​σ1​1​e−2σ12​(x−μ1​)2​,−∞x∞​ 由此可知二维正态分布的随机向量 ( X , Y ) (X , Y) (X,Y)关于 X X X Y Y Y的边缘分布都是正态分布且若 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) (X , Y) \sim N (\mu_{1} , \mu_{2} , \sigma_{1}^{2} , \sigma_{2}^{2} , \rho) (X,Y)∼N(μ1​,μ2​,σ12​,σ22​,ρ)则 X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) X \sim N (\mu_{1} , \sigma_{1}^{2}) X∼N(μ1​,σ12​) Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) Y \sim N (\mu_{2} , \sigma_{2}^{2}) Y∼N(μ2​,σ22​)由于边缘概率密度与参数 ρ \rho ρ无关故对不同的二维正态分布只要参数 μ 1 \mu_{1} μ1​ μ 2 \mu_{2} μ2​ σ 1 \sigma_{1} σ1​ σ 2 \sigma_{2} σ2​对应相同那么它们的边缘分布都是相同的这一事实表明虽然 X X X Y Y Y的联合概率密度决定边缘密度但反之不真 边缘分布函数 二维随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)关于两个分量 X X X Y Y Y的分布函数分别记为 F X ( x ) F_{X}(x) FX​(x)、 F Y ( y ) F_{Y}(y) FY​(y)分别称之为随机向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)关于 X X X Y Y Y的边缘分布函数 F X ( x ) P { X ≤ x } P { X ≤ x , Y ∞ } lim ⁡ y → ∞ F ( x , y ) F ( x , ∞ ) ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ ∞ f ( u , y ) d y ] d u F_{X}(x) P\set{X \leq x} P\set{X \leq x , Y \infty} \lim\limits_{y \rightarrow \infty}{F(x, y)} F(x, \infty) \int_{- \infty}^{x}{\left[\int_{- \infty}^{ \infty}{f(u, y) dy}\right] du} FX​(x)P{X≤x}P{X≤x,Y∞}y→∞lim​F(x,y)F(x,∞)∫−∞x​[∫−∞∞​f(u,y)dy]du