【数据结构】红黑树（C++）

一、红黑树的概念

二、红黑树的性质

三、红黑树结点定义

四、红黑树的操作

1. 插入操作

1.1 插入过程

1.2 调整过程

1.2.1 叔叔节点存在且为红色

1.2.2 叔叔节点存在且为黑色

1.2.3 叔叔节点不存在

2. 查找操作

2.1 查找逻辑

2.2 算法流程图

2.3 使用示例

五、验证红黑树

1. 中序遍历验证

2. 红黑树性质验证

3. 验证逻辑流程图

4. 使用示例

六、红黑树 vs AVL树

1. 核心区别

2. 详细对比分析

2.1 平衡机制

2.2 时间复杂度

2.3 内存占用

2.4 典型应用场景

3. 选择建议

4. 性能实测对比

总结

一、红黑树的概念

红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，它在每个节点上增加了一个存储位来表示节点的颜色，颜色可以是红色（Red）或黑色（Black）。

通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。

二、红黑树的性质

节点颜色 ：每个节点必为红色或黑色。
根节点颜色 ：根节点始终为黑色。
红色节点的子节点 ：红色节点的子节点必为黑色，禁止出现连续红色节点。
黑色节点数一致性 ：从任一节点到其所有后代叶节点的简单路径上，黑色节点数目相同。
叶节点颜色 ：叶节点（空节点）均为黑色。

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

原因：

从性质4可知，红黑树中所有从某个节点到其所有后代叶节点的简单路径上黑色节点的数目相同。设这个数目为 N，那么最短路径一定是由 N 个黑色节点构成的路径，其节点个数为 N。

性质3规定，红色节点的子节点必须是黑色，因此最长路径只能是由黑色和红色节点交替出现构成的路径。在这种情况下，黑色节点和红色节点的个数相等，最长路径的节点个数为 2N。

因此，红黑树的最长路径的节点个数（2N）不会超过最短路径节点个数（N）的两倍。

三、红黑树结点定义

// 红黑树节点颜色枚举
enum Colour 
{RED,    // 红色节点（新增节点默认为红，减少平衡调整次数）BLACK   // 黑色节点（根节点和叶子节点必须为黑）
};/*** @class RBTreeNode - 红黑树节点模板类* @tparam K - 键(key)类型，用于节点比较和排序* @tparam V - 值(value)类型，与键关联的存储数据** @note 每个节点包含父指针、左右子指针、键值对数据和颜色标记*/
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{// 节点关系指针RBTreeNode<K, V>* _left;   // 左子节点指针（比当前节点小的子树）RBTreeNode<K, V>* _right;  // 右子节点指针（比当前节点大的子树）RBTreeNode<K, V>* _parent; // 父节点指针（用于向上回溯调整）// 节点存储数据std::pair<K, V> _kv;       // 键值对数据（K决定节点位置，V存储关联值）Colour _col;               // 节点颜色（维护红黑树平衡的关键属性）RBTreeNode(const std::pair<K, V>& kv): _left(nullptr)    // 初始无左子, _right(nullptr)   // 初始无右子, _parent(nullptr)  // 初始无父节点, _kv(kv)          // 存储键值对, _col(RED)        // 默认红色（后续可能调整）{}
};

思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？

原因：

1. 保持黑高度不变

红黑树的黑高度是指从根节点到每个叶子节点路径上黑色节点的数量，它是一个重要的平衡因子。如果新插入的节点默认是黑色，那么这条路径的黑高度会增加 1，这会导致树的平衡被打破，需要进行复杂的调整操作，如重新着色和旋转等。
而将新节点设置为红色，不会改变黑高度，因为红节点的插入不会影响路径上的黑节点数量，从而减少了调整的复杂度。

2. 避免违反红黑树的性质

红黑树的一个关键性质是不能有两个连续的红色节点（即红 - 红父 - 子关系）。如果新节点默认是红色，其父节点可能也是红色，这会导致违反这一性质，但这种情况相对容易通过一系列旋转和颜色调整操作来修复。

3. 简化插入操作的逻辑

在红黑树的插入操作中，当新节点是红色时，主要的处理逻辑集中在处理连续红色节点的情况，这可以通过较为固定的几种情况进行调整，如左旋、右旋、颜色交换等。
而如果新节点是黑色，由于黑高度的改变，需要考虑更多复杂的场景和调整策略，使得插入操作的逻辑更加复杂。

综上所述，将新节点的默认颜色设置为红色，可以更好地保持红黑树的黑高度，减少对红黑树性质的破坏，同时简化插入操作的逻辑。

四、红黑树的操作

1. 插入操作

红黑树的插入过程可以分为三个主要步骤：首先，按照二叉搜索树的规则找到插入位置；其次，将新节点插入树中；最后，如果插入节点的父节点为红色，则需要对红黑树进行调整，以恢复其性质。

1.1 插入过程

找到插入位置：按照二叉搜索树的规则，比较新节点的键值与当前节点的键值，确定新节点插入的位置。
插入新节点：将新节点插入到树中，并将其颜色默认设置为红色。
判断是否需要调整：如果新节点的父节点是黑色，则红黑树的性质未被破坏，无需进行调整。如果新节点的父节点是红色，则可能需要进行调整，因为此时出现了连续的红色节点，违反了红黑树的性质。

1.2 调整过程

1.2.1 叔叔节点存在且为红色

当我们向红黑树中插入一个新节点，并且新节点的父节点和叔叔节点都是红色时，我们可以这样做来避免出现连续的红色节点：

1. 改变颜色：

把父节点和叔叔节点都变成黑色。这样可以消除连续的红色节点问题。
但是，这样做会使得父节点和叔叔节点所在的路径上的黑色节点数量减少一个。
所以，再把祖父节点变成红色。这样可以保持每条路径上黑色节点数量的一致性。

2. 处理祖父节点变红后的问题：

如果祖父节点是根节点，直接把它变回黑色。这样，所有路径的黑色节点数量都增加了一个，红黑树的性质得以维持。
如果祖父节点不是根节点，那它现在变成了红色，可能会和它的父节点（新的祖父节点）形成连续红色节点的问题。此时，我们需要把原来的祖父节点当作新插入的节点，再次检查它的父节点颜色。如果父节点还是红色，根据它新的“叔叔节点”（即祖父节点的兄弟节点）的情况，重复上述的颜色改变和可能的旋转操作，直到整个树恢复平衡。

这个过程虽然听着有点绕，但其实就是通过颜色调整和可能的旋转，逐步恢复红黑树的平衡。

1.2.2 叔叔节点存在且为黑色

当我们向红黑树中插入一个新节点，并且插入节点的叔叔节点存在且为黑色时，这通常发生在我们已经对情况一进行调整之后。具体来说，这种情况下的当前节点并不是新插入的节点，而是上一次情况一调整过程中涉及的祖父节点。在插入节点之前，红黑树的平衡已经被打破，因为叔叔节点的存在且为黑色，导致不同路径上的黑色节点数目不一致。

为了恢复红黑树的平衡，我们需要进行旋转操作。如果当前节点与父节点和祖父节点形成直线关系（即它们在一条直线上），我们需要进行单旋操作。例如，如果父节点是祖父节点的左孩子，而当前节点又是父节点的左孩子，那么我们进行右单旋操作。旋转后，我们还需要调整颜色，以确保被旋转子树的根节点变为黑色，从而恢复红黑树的性质。

如果当前节点与父节点和祖父节点形成折线关系（即它们不在一条直线上），我们需要进行双旋操作。例如，如果父节点是祖父节点的左孩子，而当前节点是父节点的右孩子，那么我们进行左右双旋操作。双旋操作后，同样需要调整颜色，使得被旋转子树的根节点变为黑色，从而恢复红黑树的平衡。

这个过程的关键在于通过旋转和颜色调整，重新分配黑色节点，使得每条路径上的黑色节点数目一致，从而恢复红黑树的平衡。旋转操作后，通常不需要继续向上调整，因为调整后的子树已经恢复了平衡。

1.2.3 叔叔节点不存在

当我们向红黑树中插入一个新节点，并且插入节点的叔叔节点不存在时，这说明当前节点一定是新插入的节点。叔叔节点不存在意味着父节点下面不能再挂黑色节点，否则会导致不同路径上的黑色节点数目不一致。因此，在这种情况下，我们需要通过旋转和颜色调整来恢复红黑树的平衡。

如果当前节点、父节点和祖父节点形成直线关系（即它们在一条直线上），我们需要进行单旋操作。例如，如果父节点是祖父节点的左孩子，而当前节点又是父节点的左孩子，那么我们进行右单旋操作。旋转后，调整颜色，使得被旋转子树的根节点变为黑色，从而恢复红黑树的性质。

如果当前节点、父节点和祖父节点形成折线关系（即它们不在一条直线上），我们需要进行双旋操作。例如，如果父节点是祖父节点的左孩子，而当前节点是父节点的右孩子，那么我们进行右左双旋操作。双旋操作后，同样需要调整颜色，使得被旋转子树的根节点变为黑色，从而恢复红黑树的平衡。

代码如下：

template<class K, class V>
class RBTree 
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv) {// 空树情况处理if (_root == nullptr) {_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;  // 根节点必须为黑（红黑树性质2）return true;}// ----------------- 标准BST插入逻辑 -----------------Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur) {  // 寻找插入位置parent = cur;if (cur->_kv.first < kv.first) {cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first) {cur = cur->_left;}else {return false;  // 键已存在，插入失败}}// 创建新节点（默认颜色为红色）cur = new Node(kv);cur->_col = RED;     // 新节点初始化为红色（减少破坏黑高概率）// 链接到父节点if (parent->_kv.first < kv.first) {parent->_right = cur;}else {parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// ---------------- 红黑树平衡调整 ----------------// 只有当父节点是红色时才需要调整（避免连续红节点）while (parent && parent->_col == RED) {Node* grandfather = parent->_parent;  // 祖父节点必然存在（因父为红不可能是根）// 父节点是祖父的左孩子if (parent == grandfather->_left) {Node* uncle = grandfather->_right;  // 叔叔节点// Case 1: 叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED) {/* 颜色翻转策略（向上传递调整）：1. 父和叔变黑2. 祖父变红3. 将祖父作为新cur继续向上调整 */parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;          // 向上回溯parent = cur->_parent;      // 更新父节点为祖父的父节点}// Case 2/3: 叔叔不存在或为黑else {// Case 2: cur是父的右孩子（LR型）if (cur == parent->_right) {RotateL(parent);      // 左旋父节点转为LL型RotateR(grandfather); // 右旋祖父节点cur->_col = BLACK;     // cur设为黑}// Case 3: cur是父的左孩子（LL型）else {RotateR(grandfather); // 右旋祖父parent->_col = BLACK;  // 父变黑}grandfather->_col = RED;  // 祖父变红（平衡颜色）break;  // 旋转后子树平衡，退出循环}}// 父节点是祖父的右孩子（镜像对称处理）else {Node* uncle = grandfather->_left;// Case 1: 叔叔存在且为红（颜色翻转）if (uncle && uncle->_col == RED) {parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}// Case 2/3: 叔叔不存在或为黑else {// Case 2: cur是父的左孩子（RL型）if (cur == parent->_left) {RotateR(parent);      // 右旋父节点转为RR型RotateL(grandfather); // 左旋祖父cur->_col = BLACK;     // cur设为黑}// Case 3: cur是父的右孩子（RR型）else {RotateL(grandfather); // 左旋祖父parent->_col = BLACK;  // 父变黑}grandfather->_col = RED;  // 祖父变红break;}}}_root->_col = BLACK;  // 确保根节点始终为黑（可能因向上调整改变根）return true;}/*** @brief 右旋操作（以parent为旋转中心）* @param parent 旋转的中心节点（旋转后将成为子节点）** 右旋示意图：*       parent              subL*      /      \            /    \*     subL     C   -->    A   parent*    /   \                     /   \*   A   subLR               subLR   C*/void RotateR(Node* parent) {Node* subL = parent->_left;    // 获取左子节点subLNode* subLR = subL->_right;    // 获取subL的右子节点subLR// Step 1: 将subLR挂接到parent的左侧parent->_left = subLR;if (subLR) {subLR->_parent = parent;   // 更新subLR的父指针}// Step 2: 将parent变为subL的右子节点subL->_right = parent;Node* ppNode = parent->_parent;  // 记录原parent的父节点（祖父节点）// Step 3: 更新parent的父指针指向subLparent->_parent = subL;// Step 4: 处理祖父节点的链接if (parent == _root) {         // 若parent是根节点_root = subL;              // 更新根为subL_root->_parent = nullptr;  // 根节点的父指针置空}else {                       // 若parent不是根节点if (ppNode->_left == parent) {  // 判断原parent在祖父的位置ppNode->_left = subL;       // 祖父左指针指向subL}else {ppNode->_right = subL;      // 祖父右指针指向subL}subL->_parent = ppNode;    // 更新subL的父指针}}/*** @brief 左旋操作（以parent为旋转中心）* @param parent 旋转的中心节点（旋转后将成为子节点）** 左旋示意图：*     parent                subR*    /     \              /     \*   A      subR   -->  parent    C*         /   \         /   \*     subRL    C       A   subRL*/void RotateL(Node* parent) {Node* subR = parent->_right;   // 获取右子节点subRNode* subRL = subR->_left;     // 获取subR的左子节点subRL// Step 1: 将subRL挂接到parent的右侧parent->_right = subRL;if (subRL) {subRL->_parent = parent;  // 更新subRL的父指针}// Step 2: 将parent变为subR的左子节点subR->_left = parent;Node* ppNode = parent->_parent;  // 记录原parent的父节点（祖父节点）// Step 3: 更新parent的父指针指向subRparent->_parent = subR;// Step 4: 处理祖父节点的链接if (parent == _root) {         // 若parent是根节点_root = subR;              // 更新根为subR_root->_parent = nullptr;  // 根节点的父指针置空}else {                       // 若parent不是根节点if (ppNode->_left == parent) {  // 判断原parent在祖父的位置ppNode->_left = subR;       // 祖父左指针指向subR}else {ppNode->_right = subR;      // 祖父右指针指向subR}subR->_parent = ppNode;    // 更新subR的父指针}}
private:Node* _root = nullptr;
};