你是否在寻找数学建模比赛的突破点？数学建模进阶思路！

作为经验丰富的美赛O奖、国赛国一的数学建模团队，我们将为你带来本次数学建模竞赛的全面解析。这个解决方案包不仅包括完整的代码实现，还有详尽的建模过程和解析，帮助你全面理解并掌握如何解决类似问题。

详见文末
部分可视化（做了模糊处理，正文里的比这个更细致）

第一个问题是：根据附件1中的数据A和B，建立数学模型，对数据A进行某种变换，使得变换后的结果与数据B尽可能接近。计算变换后的结果与数据B的误差，并分析误差的来源（如数据噪声、模型偏差等）对结果的影响。

1. 理解问题

首先，我们需要理解问题的本质：

• 给定：附件1中的数据A和数据B。
• 目标：对数据A进行某种变换，使得变换后的结果尽可能接近数据B。
• 输出：
  1. 变换后的结果。
  2. 变换后的结果与数据B的误差。
  3. 误差来源分析，如数据噪声、模型偏差等。

2. 数据探索

在进行建模之前，我们需要对数据进行探索，了解其基本特征和关系。例如：

• 数据A和数据B的维度、分布、统计特性等。
• 数据A和数据B之间的关系（线性、非线性、周期性等）。
• 是否存在异常值或噪声。

由于附件1中的数据A和B没有具体给出，我们在这里假设数据A和数据B都是n维向量。

3. 建立模型

3.1 线性变换模型

假设数据A和数据B之间的关系是线性的，我们可以建立一个线性变换模型：

$$B^{\prime }=k\cdot A+c$$

其中，$ B’ $ 是变换后的结果，$ k $ 是缩放系数，$ c $ 是偏移量。我们的目标是找到最佳的 $ k $ 和 $ c $，使得 $ B’ $ 尽可能接近 $ B $。

3.2 最小二乘法求解

为了找到最佳的 $ k $ 和 $ c $，我们可以使用最小二乘法。最小二乘法的目标是使误差平方和最小：

$$\text{minimize}\sum _{i=1}^n(B_i^{\prime }-B_i{)}^2=\sum _{i=1}^n(k\cdot A_i+c-B_i{)}^2$$

对 $ k $ 和 $ c $ 求偏导，并令偏导数为0，可以解出 $ k $ 和 $ c $。

3.3 求解过程

1. 定义误差平方和函数：
   $$S(k,c)=\sum _{i=1}^n(k\cdot A_i+c-B_i{)}^2$$

2. 对 $ k $ 求偏导：
   $$\frac{\partial S}{\partial k}=2\sum _{i=1}^n(k\cdot A_i+c-B_i)\cdot A_i=0$$

3. 对 $ c $ 求偏导：
   $$\frac{\partial S}{\partial c}=2\sum _{i=1}^n(k\cdot A_i+c-B_i)=0$$

4. 整理得到方程组：
   $$\{\begin{array}{l}k{\sum }_{i=1}^n{A}_i^2+c{\sum }_{i=1}^n{A}_i={\sum }_{i=1}^n{A}_i{B}_i\\ k{\sum }_{i=1}^n{A}_i+c\cdot n={\sum }_{i=1}^n{B}_i\end{array}$$

5. 解这个方程组即可得到 $ k $ 和 $ c $。

4. 计算误差

计算变换后的结果 $ B’ = k \cdot A + c $ 与数据B之间的误差。常用的误差度量包括：

• 均方误差（MSE）：$$\text{MSE}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(B_i^{\prime }-B_i{)}^2$$
• 平均绝对误差（MAE）：$$\text{MAE}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|B_i^{\prime }-B_i|$$
• 相关系数（R）：$$R=\frac{{\sum }_{i=1}^n(B_i^{\prime }-\overline{B^{\prime }})(B_i-\bar{B})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(B_i^{\prime }-\overline{B^{\prime }}{)}^2{\sum }_{i=1}^n(B_i-\bar{B}{)}^2}}$$

5. 误差来源分析

1. 数据噪声：原始数据A和B中可能包含噪声，这些噪声会影响到 $ k $ 和 $ c $ 的求解，从而导致变换后的结果与数据B之间存在误差。
2. 模型偏差：假设数据A和数据B之间的关系是线性的，但实际关系可能是非线性的。这种情况下，线性模型无法完全捕捉到两者之间的关系，从而产生误差。
3. 采样偏差：数据A和B的采样可能不均匀，或者存在异常值，这也会影响到模型的求解和误差的大小。

6. 模型扩展

如果线性模型无法很好地拟合数据A和数据B之间的关系，可以考虑更复杂的模型

问题1的详细LaTeX数学公式

1. 问题描述

给定数据集 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$ 和 $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$，目标是找到一个变换 $T$，使得变换后的数据 $T(A)$ 与 $B$ 尽可能接近。同时，计算变换后的误差，并分析误差来源。

2. 数学模型

假设变换 $T$ 是一个线性变换，即存在矩阵 $W\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$，使得：

$$T(A)=AW$$

目标是找到矩阵 $W$ 使得 $T(A)$ 与 $B$ 的误差最小化，即最小化：

$$\underset{W}{\min }\Vert AW-B{\Vert }_F^2$$

其中 $\Vert \cdot {\Vert }_F$ 表示Frobenius范数。

3. 解

上述最小二乘问题的解为：

$$W=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}B$$

当 $A^{T}A$ 不可逆时，可以使用伪逆或正则化方法求解。

4. 误差计算

变换后的数据为：

$$\hat{B}=AW$$

误差矩阵为：

$$E=\hat{B}-B$$

总误差可以用Frobenius范数衡量：

$$\text{Error}=\Vert E{\Vert }_F$$

5. 误差来源分析

1. 数据噪声：原始数据 $A$ 和 $B$ 可能包含噪声，影响 $W$ 的估计。
2. 模型偏差：假设线性变换可能不足以完全描述 $A$ 和 $B$ 之间的关系。
3. 过拟合/欠拟合：模型的复杂度可能不合适，导致对噪声过度敏感或无法捕捉真实关系。
4. 数值误差：计算过程中可能引入数值不稳定性。

6. 误差影响

1. 数据噪声：可能导致 $W$ 的估计偏差，增加误差。
2. 模型偏差：如果 $A$ 和 $B$ 之间的关系是非线性的，线性模型无法准确描述，误差会较大。
3. 过拟合/欠拟合：过拟合时模型对噪声敏感，欠拟合时无法捕捉真实关系，均可能导致误差增加。
4. 数值误差：计算 $W$ 时的舍入误差或矩阵条件数过大会影响结果精度。

7. 公式

1. Frobenius范数：
   $$\Vert E{\Vert }_F=\sqrt{\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m|e_{ij}{|}^2}$$

2. 最小二乘解：
   $$W=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}B$$

3. 误差矩阵：
   $$E=AW-B$$

注意

1. 以上假设了线性变换，实际问题中可能需要更复杂的变换。
2. 如果数据维度较高，可能需要考虑正则化或降维技术。
3. 实际计算中要注意矩阵 $(A^{T}A)$ 的可逆性。

问题1分析

首先，我们需要理解问题1的要求：

1. 数据理解：我们有数据A和B，其中A是一个多维数组（具体是几维需要看数据），B也是一个多维数组。我们的目标是对A进行某种变换，使其尽可能接近B。
2. 变换要求：这个变换可以是线性的（例如，矩阵乘法、缩放、旋转等），也可以是非线性的（例如，多项式变换、指数变换等）。
3. 误差计算：变换后，我们需要计算A变换后的结果与B之间的误差。
4. 误差分析：我们需要分析误差的来源，例如数据噪声、模型偏差等。

由于没有具体的数据文件，我们假设数据A和B都是二维数组（矩阵），并且它们的形状相同。我们可以尝试几种常见的变换方法：

1. 线性变换：假设A可以通过一个矩阵乘法加上一个偏置项来近似B，即 B ≈ A * W + b。
2. 非线性变换：可以使用多项式回归或其他非线性方法。

由于问题中没有明确说明数据的具体形式，我们将采用最简单的线性变换方法，即最小二乘法来找到最佳的 W和 b。

解决方案

1. 线性变换模型：假设 B = A * W + b，其中 W是权重矩阵，b是偏置项。
2. 参数估计：使用最小二乘法来估计 W和 b。
3. 误差计算：使用均方误差（MSE）或其他指标来计算变换后的A与B之间的误差。
4. 误差分析：分析误差的来源，例如数据噪声（数据本身的随机性）、模型偏差（线性模型的局限性）等。

实现步骤

1. 加载数据A和B。
2. 假设A和B的形状都是 (m, n)，则 W的形状应该是 (n, n)，b的形状应该是 (m, n)。但是通常在实际建模中，我们会将这个问题简化为多个独立的线性回归问题，即对B的每一列进行建模。
3. 对于B的每一列 B[:, i]，我们可以使用A的所有列来预测它，即 B[:, i] ≈ A * W[:, i] + b[i]。这样，我们可以为B的每一列拟合一个线性模型。
4. 将所有列的模型组合起来，得到完整的变换模型。
5. 计算变换后的A与B之间的误差。
6. 分析误差。

Python代码实现

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error# 假设A和B是已经加载的numpy数组，形状为(m, n)
# 这里我们用随机数据模拟
m, n = 100, 5
A = np.random.rand(m, n)
B = np.random.rand(m, n)# 存储变换后的A
A_transformed = np.zeros_like(A)# 对B的每一列进行建模
for i in range(n):model = LinearRegression()model.fit(A, B[:, i])A_transformed[:, i] = model.predict(A)# 计算误差
mse = mean_squared_error(B, A_transformed)
print("均方误差 (MSE):", mse)# 误差来源分析
# 1. 数据噪声：由于A和B都是随机生成的，本身包含噪声。
# 2. 模型偏差：我们使用的是线性模型，如果真实关系是非线性的，则模型无法捕捉这种关系。
# 在实际应用中，还需要考虑其他因素，比如数据采集的误差、模型的假设是否合理等。

注意事项

1. 上述代码假设A和B是二维数组，且形状相同。在实际问题中，需要根据数据的具体情况调整代码。
2. 如果A和B的维度不同，可能需要更复杂的变换方法。
3. 线性模型可能不是最优的，如果数据之间存在非线性关系，可以考虑使用多项式回归、支持向量回归等方法。
4. 误差分析部分需要根据具体数据和应用背景进行更深入的分析。

问题2

问题2. 请分析附件2中给出的一组矿山监测数据，建立数据压缩模型，对附件2中的数据进行降维处理，计算压缩效率（包括但不限于压缩比、存储空间节省率等）。进一步建立数据还原模型，将降维后的数据进行还原，分析降维和还原对数据质量的影响，提供还原数据的准确度（MSE不高于0.005）和误差分析。（要求在保证还原数据的准确度的前提下，尽可能地提高压缩效率）

问题2的具体要求：

1. 对附件2中的矿山监测数据进行降维处理；
2. 建立数据压缩模型，并计算压缩效率（如压缩比、存储空间节省率等）；
3. 建立数据还原模型，将降维后的数据还原，并分析降维和还原对数据质量的影响；
4. 提供还原数据的准确度（MSE不高于0.005）和误差分析；
5. 在保证还原数据的准确度的前提下，尽可能地提高压缩效率。

问题分析

1. 数据压缩模型：可以选择主成分分析（PCA）或其他降维方法，以减少数据的维度。
2. 压缩效率：压缩效率可以通过计算压缩比和存储空间节省率来衡量。压缩比是原始数据大小与压缩后数据大小的比值。存储空间节省率是指压缩后节省的存储空间占原始存储空间的比例。
3. 数据还原模型：需要设计一个方法，将降维后的数据尽可能还原到原始数据空间。可以使用PCA的逆变换或其他重建方法。
4. 数据质量评估：使用均方误差（MSE）来衡量还原数据与原始数据的差异，确保MSE不高于0.005。
5. 误差分析：分析降维和重建过程中误差的来源和影响，确保模型的有效性。
6. 提高压缩效率：在满足MSE要求的前提下，尽可能减少降维后的数据维度，提高压缩效率。

步骤1：数据压缩（降维）

1. 选择降维方法：主成分分析（PCA）是一种经典且广泛应用的降维方法，它通过线性变换将原始数据变换到新坐标系中，使得第一个新坐标轴（第一主成分）的方差最大，第二个新坐标轴（第二主成分）的方差次之，以此类推。PCA可以有效降低数据的维度并保留主要信息。

2. 实施PCA：

   • 对数据进行标准化（均值为0，方差为1）。
   • 计算数据的协方差矩阵。
   • 计算协方差矩阵的特征值和特征向量。
   • 选择前k个特征向量（主成分），将原始数据投影到这k个主成分上，得到降维后的数据。

3. 确定主成分数量k：

   • 可以通过累计方差贡献率来确定k，通常选择使累计方差贡献率达到较高值（如95%）的k。
   • 或者通过迭代，逐步增加k，直到MSE满足要求（不高于0.005）为止，同时尽量减小k以提高压缩效率。

步骤2：数据还原

1. 数据还原：使用PCA的逆变换将降维后的数据还原到原始数据空间。

   • 将降维后的数据与相应主成分的转置相乘，得到还原后的数据。
   • 注意：由于PCA降维过程中会丢失一些信息，因此还原后的数据与原始数据会有差异。

2. 计算MSE：计算还原数据与原始数据之间的均方误差（MSE），确保MSE不高于0.005。

步骤3：计算压缩效率

1. 压缩比：原始数据大小与压缩后数据大小的比值。假设原始数据有n个样本，每个样本有m个维度，则原始数据大小为n×m。降维到k维后，压缩后数据大小为n×k，此外还需存储k个主成分（每个主成分是m维），大小为k×m。压缩比计算公式为：
   $$\text{压缩比}=\frac{n\times m}{n\times k+k\times m}$$
   如果n >> m，则压缩比近似为m/k。

2. 存储空间节省率：
   $$\text{存储空间节省率}=\frac{\text{原始数据大小}-\text{压缩后数据大小}}{\text{原始数据大小}}\times 100\%$$
   其中，压缩后数据大小包括降维后的数据大小和主成分的大小。

步骤4：误差分析与模型评估

1. MSE计算：计算还原数据与原始数据的均方误差（MSE）。
   $$
   \text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n | x_i - \hat{x}_i

问题2的数学建模

1. 数据压缩（降维）模型

1.1 数据标准化

假设原始数据矩阵为 $ X \in \mathbb{R}^{n \times m} $，其中 $ n $ 为样本数，$ m $ 为特征数。首先对数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，方差为1。标准化后的数据矩阵为 $ Z \in \mathbb{R}^{n \times m} $，其中：

$$Z_{ij}=\frac{X_{ij}-{\mu }_j}{{\sigma }_j},i=1,\dots ,n;j=1,\dots ,m$$

其中，$ \mu_j = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_{ij} $ 是第 $ j $ 个特征的均值，$ \sigma_j = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_{ij} - \mu_j)^2} $ 是第 $ j $ 个特征的标准差。

1.2 计算协方差矩阵

标准化后的数据 $ Z $ 的协方差矩阵为：

$$\Sigma =\frac{1}{n}{Z}^{T}Z\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$$

1.3 计算特征值和特征向量

对协方差矩阵 $ \Sigma $ 进行特征值分解：

$$\Sigma =V\Lambda V^T$$

其中，$ V \in \mathbb{R}^{m \times m} $ 是特征向量矩阵，每一列是一个特征向量；$ \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_m) $ 是特征值对角矩阵，特征值按降序排列：$ \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_m \geq 0 $。

1.4 选择主成分数量

选择前 $ k $ 个主成分，使得累计方差贡献率达到一定阈值（如95%）。累计方差贡献率为：

$$\text{Cumulative Variance}=\frac{{\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i}{{\sum }_{i=1}^m{\lambda }_i}$$

或者，通过迭代选择 $ k $，使得还原后的数据MSE不高于0.005。

1.5 数据降维

选择前 $ k $ 个特征向量 $ V_k \in \mathbb{R}^{m \times k} $，将原始数据投影到主成分上，得到降维后的数据：

$$Z_k=Z{V}_k\in {\mathbb{R}}^{n\times k}$$

2. 数据还原模型

2.1 数据还原

将降维后的数据 $ Z_k $ 还原到原始数据空间：

$$\hat{Z}=Z_k{V}_k^T\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$$

然后，将 $ \hat{Z} $ 反标准化，得到还原后的原始数据 $ \hat{X} $：

$${\hat{X}}_{ij}={\hat{Z}}_{ij}\cdot {\sigma }_j+{\mu }_j,i=1,\dots ,n;j=1,\dots ,m$$

2.2 计算MSE

计算还原数据 $ \hat{X} $ 与原始数据 $ X $ 的均方误差（MSE）：

$$\text{MSE}=\frac{1}{nm}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(X_{ij}-{\hat{X}}_{ij}{)}^2$$

要求 $ \text{MSE} \leq 0.005 $。

3. 压缩效率计算

3.1 压缩比

原始数据大小为 $ n \times m $，降维后数据大小为 $ n \times k $，另外需要存储 $ k $ 个主成分（每个主成分是 $ m $ 维），大小为 $ k \times m $。压缩比为：

$$\text{Compression Ratio}=\frac{n\times m}{n\times k+k\times m}=\frac{nm}{k(n+m)}$$

3.2 存储空间节省率

存储空间节省率为：

$$\text{Storage Saving Rate}=\frac{(n\times m)-(n\times k+k\times m)}{n\times m}\times 100\%=\left(1-\frac{k(n+m)}{nm}\right)\times 100\%$$

4. 误差分析与模型评估

分析降维和还原过程中的误差来源，包括：

• 主成分数量选择导致的方差损失

问题2的详细数学公式

1. 数据标准化（Standardization）

在进行PCA之前，通常需要对数据进行标准化处理，使每个特征均值为0，方差为1。设原始数据矩阵为 $X\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$，其中 $n$ 是样本数，$m$ 是特征数。标准化后的数据矩阵 $X_{\text{std}}$ 为：

$$X_{\text{std}}=\left(X-\mu \right)/\sigma$$

其中 $\mu \in {\mathbb{R}}^m$ 是每个特征的均值向量，$\sigma \in {\mathbb{R}}^m$ 是每个特征的标准差向量，除法为逐元素除法。

2. 计算协方差矩阵（Covariance Matrix）

标准化后数据的协方差矩阵 $C\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$ 为：

$$C=\frac{1}{n-1}{X}_{\text{std}}^T{X}_{\text{std}}$$

3. 计算特征值与特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）

对协方差矩阵 $C$ 进行特征值分解：

$$C=V\Lambda V^T$$

其中 $\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m)$ 是对角矩阵，对角线元素 ${\lambda }_i$ 是特征值，$V\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$ 是特征向量矩阵，每一列是一个特征向量。

4. 选择主成分（Principal Components Selection）

将特征值从大到小排序，选择前 $k$ 个最大的特征值对应的特征向量，构成投影矩阵 $W\in {\mathbb{R}}^{m\times k}$。降维后的数据 $Z\in {\mathbb{R}}^{n\times k}$ 为：

$$Z=X_{\text{std}}W$$

5. 数据还原（Reconstruction）

使用投影矩阵 $W$ 将降维后的数据 $Z$ 还原到原始空间，得到 ${\hat{X}}_{\text{std}}\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$：

$${\hat{X}}_{\text{std}}=Z{W}^T$$

将标准化后的数据还原为原始尺度：

$$\hat{X}={\hat{X}}_{\text{std}}\odot \sigma +\mu$$

其中 $\odot$ 表示逐元素乘法。

6. 计算均方误差（Mean Squared Error, MSE）

计算还原数据 $\hat{X}$ 与原始数据 $X$ 的均方误差：

$$\text{MSE}=\frac{1}{nm}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(X_{ij}-{\hat{X}}_{ij}{)}^2$$

7. 压缩比（Compression Ratio）

假设原始数据 $X\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$ 的大小为 $n\times m$，降维后数据 $Z\in {\mathbb{R}}^{n\times k}$ 的大小为 $n\times k$，投影矩阵 $W\in {\mathbb{R}}^{m\times k}$ 的大小为 $m\times k$。压缩比为：

$$\text{压缩比}=\frac{n\times m}{n\times k+m\times k}$$

8. 存储空间节省率（Storage Saving Ratio）

存储空间节省率为：

$$\text{存储空间节省率}=\frac{n\times m-(n\times k+m\times k)}{n\times m}\times 100\%$$

问题2的解题步骤

1. 数据预处理：对附件2中的数据进行标准化处理。
2. PCA降维：计算标准化后数据的协方差矩阵，进行特征值分解，选择合适的主成分数量 $k$，使得还原后的数据的MSE不高于0.005。
3. 数据还原：将降维后的数据还原，并计算MSE。
4. 计算压缩效率：计算压缩比和存储空间节省率。
5. 误差分析：分析降维和还原对数据质量的影响。

注意事项

• 在选择主成分数量 $k$ 时，需要权衡压缩效率和MSE的要求。可以通过逐步增加 $k$ 并计算MSE，直到满足MSE ≤ 0.005。
• 存储空间节省率和压缩比的计算需要考虑到存储降维后数据 $Z$ 和投影矩阵 $W$ 的空间。
• 在还原数据时，需要将标准化后的数据还原到原始尺度，再计算MSE。

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import mean_squared_error# 读取数据
data = pd.read_excel('附件2.xlsx', header=None)
X = data.values# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 初始化PCA，设置主成分数量为k，这里假设k=2
k = 2
pca = PCA(n_components=k)# 执行PCA降维
X_pca = pca.fit_transform(X_scaled)# 还原数据
X_reconstructed = pca.inverse_transform(X_pca)# 将标准化后的数据还原回原始尺度
X_reconstructed_original = scaler.inverse_transform(X_reconstructed)# 计算MSE
mse = mean_squared_error(X, X_reconstructed_original)# 压缩比和存储空间节省率计算
n, m = X.shape
original_size = n * m
compressed_size = n * k + k * m
compression_ratio = original_size / compressed_size
storage_saving = (original_size - compressed_size) / original_size * 100print(f'MSE: {mse}')
print(f'Compression ratio: {compression_ratio}')
print(f'Storage saving (%): {storage_saving}')

解释

1. 数据读取与标准化：首先读取附件2中的数据，并进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，方差为1。标准化是PCA的必要步骤，因为PCA对特征的尺度敏感。
2. PCA降维：使用 sklearn.decomposition.PCA进行降维。在这里，我们假设主成分数量 k=2，但实际应用中需要根据累计方差贡献率或MSE要求来选择合适的 k值。
3. 数据还原：通过 inverse_transform方法将降维后的数据还原到原始特征空间，然后再将标准化后的数据还原到原始尺度。
4. MSE计算：计算还原数据与原始数据之间的均方误差（MSE）。
5. 压缩效率计算：计算压缩比和存储空间节省率。假设原始数据大小为 n x m，压缩后数据大小为 n x k + k x m，其中 n x k是降维后的数据大小，k x m是主成分的大小。

注意事项

• 在实际应用中，需要根据MSE的要求（不高于0.005）来选择合适的 k值。可以通过迭代尝试不同的 k值，直到满足MSE要求。
• 如果 k值过大，虽然MSE会降低，但压缩效率也会降低。因此，需要在满足MSE要求的前提下，尽可能选择较小的 k值。
• 存储空间节省率和压缩比只是理论上的计算，实际存储时还需要考虑数据的存储格式和精度等因素。

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