△ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆 ⊙ I \odot I ⊙I 分别与边 B C BC BC, C A CA CA, A B AB AB 相切于点 D D D, E E E, F F F, D D ′ DD' DD′ 为 ⊙ I \odot I ⊙I 的直径, 过圆心 I I I 作直线 A D ′ AD' AD′ 的垂线 l l l, 直线 l l l 分别与 D E DE DE, D F DF DF 相交于点 M M M, N N N. 求证: I M = I N IM=IN IM=IN . (《高中数学联赛模拟试题精选》“学数学”系列第3套几何题)
证明: 先证明: △ I M E ∼ △ A D ′ E \triangle IME \sim \triangle AD'E △IME∼△AD′E:
∠ A E D ′ = ∠ I D E = ∠ I E M \angle AED'=\angle IDE=\angle IEM ∠AED′=∠IDE=∠IEM.
A D ′ ⊥ I M AD' \bot IM AD′⊥IM, I E ⊥ A E IE \bot AE IE⊥AE, 所以 ∠ D ′ A E = ∠ M I E \angle D'AE=\angle MIE ∠D′AE=∠MIE.
所以 △ I M E ∼ △ A D ′ E \triangle IME \sim \triangle AD'E △IME∼△AD′E.
同理, △ I N F ∼ △ A D ′ F \triangle INF \sim \triangle AD'F △INF∼△AD′F.
I M / I E = A ′ D / A E = A ′ D / A F = I N / I F IM/IE=A'D/AE=A'D/AF=IN/IF IM/IE=A′D/AE=A′D/AF=IN/IF.
所以 I M = I F IM=IF IM=IF.
证毕.
用websocket显示大模型的流式输出)
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