MX Round 27 解题报告

MX Round 27 解题报告

T1

观察一：对于区间 \([l,l]\)，它如果不为 \(1\)，那么有 \(a_i=w_{l,l}\)；否则有 \(a_i=0\) 或 \(a_i=1\)。

观察二：对于第 \(i\) 个和第 \(i+1\) 个无法被确定的数，通过查询区间内已知的最大值来确定 \(\operatorname{mex}\) 值，从而判定它们是否一样。

于是枚举第一个无法确定的数是多少，然后暴力判定即可。

T2

跟“树上点对距离和”相关的问题可以从每条边的贡献入手。

考虑树上每一条的贡献，其一定是从它深度较大的端点的子树内连到子树外的。而贡献有效当且仅当是子树内的一段同色区间和子树外的一段同色区间匹配。因为需要维护区间信息，并且和子树相关，有两个方向：线段树合并和树上启发式合并。这里考虑前者。

接下来问题转化为“维护子树内每一种颜色的连续段个数”，这是一个简单的 DS 问题。

T3

“排序”类问题，通常需要先转化为 \(01\) 序列上的问题再进行进一步的分析，类似 P2824。

本题中，钦定一个数 \(x\)，使大于等于 \(x\) 的数为 \(1\)，小于 \(x\) 的数为 \(0\)，然后观察操作影响。发现每一次操作就是将最左侧的 \(0\) 和最右侧 \(1\) 交换。

为了方便描述，记 \(a_{k,i}\) 为操作 \(k\) 次后，下标为 \(i\) 的元素；\(b_{x,k,i}=[a_{k,i} \ge x]\)。

回答询问时，直接做不太行，考虑拆询问为前缀形式，然后体现在 \(b\) 上就是：

\[\sum_{i=1}^r{a_{k,i}}=\sum_{x=1}^n\sum_{i=1}^rb_{x,k,i} \]

这一步转化是在统计每一个数的贡献。

考虑一次操作会产生什么影响。每一次操作如果前缀中有 \(1\)，那么一定会被换出去。或者后面有零就一定会被换进来。其他就是一些推式子和 DS 问题了。