IOI 2026 中国国家集训队作业（试题泛做）记录

跟着学长做。可能不是很详细。

qoj1875 Nein

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qoj970 Best Subsequence

考虑单次询问怎么做。二分，设 \(\le W\) 的为一类数，其余为二类数，显然二类数不能相邻，则肯定有一种最优解满足一类数全选了（考虑贪心调整，不证）。复杂度 \(\mathcal{O}(n \log n)\)。

定义答案相邻的一类数，二类数，一类数为一个三元组 \((a, b, c)\)，则对于所有 \(i = c\)，\(b\) 一定是弹出去的单调栈上的元素之一且 \(a\) 一定是在单调栈上在 \(b\) 前面一个的元素。自证不难。则总的三元组个数是 \(\mathcal{O}(n)\) 的。

又，对于每一个可能的一类数和三元组，他们都对应答案中的一个 \(1\)，且都有一个使它存在的 \(W\) 的区间下界 \(W'\)，则我们可以考虑把它放到主席树上维护，二分时求一下区间 \(\le W\) 的数的个数即可（注意它是一个环，所以还要考虑两边的情况）。

代码。

qoj1884 Mission Impossible: Grand Theft Auto

先把二度点缩掉。考虑随便定一个非叶子节点为根，将叶子按 dfn 序排序，则有一种覆盖方式就是以某个叶子 \(x\) 为起点，依次覆盖 \((x, x + 1), (x - 1, x + 2), \dots\)

但是，我们发现这样做会有一个问题，就是可能在覆盖的中途漏掉一些边。我们称漏掉的边为 bad 边：

（偷个图，来源）

那你可能会说，直接在覆盖完 bad 边的子树后覆盖一下 bad 边不就行了。但是，需要注意的是 \(x\) 的 bad 边可能有多个，你直接这么搞可能次数就超了。

定义一条边对一个点贡献一次，当且仅当以那个点为起点时，这条边是 bad 边。显然，一条边贡献到的点一定为子树内的中间叶子和子树外的中间叶子（能贡献到当且仅当子树内/外的叶子个数是偶数），且贡献数不超过 \(2\)（可以看图揣摩一下）。

我们发现由于二度点都被缩掉了，则这颗树的总边数不会超过 \(2m - 2\)。分两种情况讨论。

• \(m\) 是偶数：

显然，每个叶子向上连的边一定不会贡献到任何一个节点，剩下的 \(m - 2\) 条边每条边最多贡献 \(2\) 次，总贡献数不超过 \(2x - 4\)，则必有一个节点被贡献到的次数 \(\le 1\)，取这个点为起点即可。

• \(m\) 是奇数：

此时由于 \(m\) 是奇数，每条边必定会贡献恰好 \(1\) 次。同上文的分析，取被贡献次数 \(1\) 的点为起点即可。

此时，由于所有叶子向上连的边贡献到的点恰好是所有叶子，则此时的 bad 边一定是最后剩下的叶子向上连的边。直接在构造的最后把那个叶子和根覆盖即可。

直接按上面的方法构造即可，复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。

代码（tip：写代码时甚至不需要刻意把二度点缩掉）