题解：CF2172N New Kingdom

题目大意

给定三个整数 \(n,k,b\)。构造一张有 \(m(0\le m\le 5n)\) 条边的连通简单无向图，满足有 \(k\) 个点的度数为奇数，有 \(b\) 条边是割边 。

解法

这道题思考起来并不困难，但是存在一定数量的 corner case，一般可以通过跑出较小范围的所有数据来进行调试。

首先，因为总度数为 \(2m\) 是偶数，所有奇数点个数一定是偶数，当 \(k\) 是奇数时无解。

有 \(b\) 条边是割边，相当于要求缩点后形成一棵有 \(b+1\) 个节点的树。

同时，当 \(b=n-2\) 时，必然存在一个点双包含两个节点，但这样的点双一定存在重边，所以无解。

Part 1（\(c=0\)）

缩点后得到的树，其叶子节点的度数必为奇数，其在原图中对应的一个边双至少存在一个点度数为奇数。

所以，当 \(c=0\) 时，只能存在一个边双，也就是 \(b=0\)，当 \(b>0\) 时无解。然后：

• 当 \(n=1\) 时，只有一个点，不需要连边。
• 当 \(n=2\) 时，必须连成一个边双，如上面所说，必须有边 \((1,2)\) 和 \((2,1)\)，此时出现重边，所以无解。
• 当 \(n\ge 3\) 时，只需要用 \(n-1\) 条边将所有点连成一个环即可。

Part 2（\(b=0\)）

此时只有一个点双，可以用 \(n-1\) 条边将所有点连成一个环来构造点双。

接下来，我们考虑构造出 \(k\) 个度数为奇数的点。有如下构造方式：

• 选择环上 \(\frac{k}{2}\) 对互不同相同的点对，对每个点对内连边，可以产生 \(k\) 个度数为奇数的点。

注意，当 \(n=3,k=2\) 时，我们需要在环上连一个点对，但此时无论选择哪两个点都会产生重边，所以无解。

Part 3（\(b+1>k\)）

此时是点双个数比度数为奇数的点的个数多的情况。

我们可以采取这样的构造方式：

如上图（\(n=12,k=6,b=8\) 时的构造）：

• 红色部分，我们通过构造一个菊花来满足有 \(k\) 个奇数点的限制。
• 橙色部分，我们通过构造一条链来满足多余的点双的限制。
• 黄色部分，仅通过前面两个部分我们可能无法将 \(n\) 个点全部用完，所以我们可以通过构造一个环来将剩下的点用完。

Part 4（\(b+1=k\)）

此时，相较于 \(b+1>k\) 的构造方式，我们只需要去除橙色部分即可。也就是说，我们的构造方式是一个环形成的边双上连接一个菊花。

Part 5（\(b+1<k\)）

此时，我们能够使用的点双的数量要少于奇数点的个数，也就是说，我们需要使用 Part 2 的做法在点双内构造出若干度数为奇数的点。

我们希望每个点双的环尽可能大，这样才能构造出尽可能多的度数为奇数的点。贪心的考虑，我们使用 Part 4 中的做法，即构造一个点双，上面连 \(b\) 个点的菊花。

如图（\(n=12,k=8,b=4\) 时的构造）。

我们只需要在大环中连 \(\frac{k-b}{2}\) 对点，就可以构造出所有 \(k\) 个度数为奇数的点。

注意一个特殊情况：大环中包含 \(3\) 个节点。此时我们的构造方式并不适用，因为三个节点的环会连出重边。

首先，当 \(n=4,b=1\) 时无解。其它情况：

• 构造一个包含节点 \(1,2,3\) 的环。
• 在 \(2,3\) 上分别连接一个节点，在 \(1\) 上连接剩下 \(n-5\) 个节点即可。

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以上，我们的构造方案边数不超过 \(\frac{3}{2}n\)，可以通过此题。