算法第三次作业

算法第三次作业
1、按照动态规划法的求解步骤分析作业题目“数字三角形”：
1.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式，说明方程式的定义、边界条件
a.递归方程式：c[j]=a[i][j]+max(c[j],c[j+1])
b.方程式的定义：数字三角形的第 i 行第 j 列的元素为 a[i][j]，c[j]表示当前这一行的第 j 列元素出发，到达底部的最大路径和。其左下方或其右下方的较大值+当前元素值就等于从当前行的第j列元素出发的最大路径和 。
c.边界条件：数字三角形的最后一行到自身的最大路径就最后一行元素本身，c[j]=a[n-1][j];
1.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序。以及原问题的最优值是哪个表格元素
a.表的维度：一维数组c[101]
b.填表范围：从倒数第二行（n-2）到第0行，每行从第0列到第i列。
c.填表顺序：自底向上填表，从左向右填表
d.最优值：c[0]
1.3 分析该算法的时间和空间复杂度
a.时间复杂度：O(n²)
b.空间复杂度：O(n)

2、你对动态规划算法的理解和体会
动态规划是把原问题分解成更小规模的子问题，通过储存子问题的最优解避免重复计算，然后从子问题再推到回原问题的最优解。利用子问题的解来构建原问题的解，同时通过空间优化减少了内存使用。动态规划本质就是从最优子结构和重叠子问题两个方面进行问题的解决。数字三角形采用了从最后一行开始向上计算的方式，这样保证了在计算每个状态的时候，所需要的子问题（下一行的状态）都已经计算完成，避免了递归的开销。