Cuda C++：Tensor Core 数值行为分析之测试复现

参考

  1. B. Hickmann and D. Bradford, "Experimental Analysis of Matrix Multiplication Functional Units," 2019 IEEE 26th Symposium on Computer Arithmetic (ARITH), Kyoto, Japan, 2019, pp. 116-119, doi: 10.1109/ARITH.2019.00031.
  2. Massimiliano Fasi, Nicholas J. Higham, Mantas Mikaitis, and Srikara Pranesh "Numerical behavior of NVIDIA tensor cores" and Presentation

设备

手上只有消费级显卡，用的是 Ada Lovelace 架构的 RTX4060（sm_89）。

测试模板

本质上是基于 2. 的实验复现，写了一个 Cuda C++ 的比较灵活的测试框架，能够适应各种不同的浮点类型（FP16/FP32/BF16/TF32）。

  • common.cuh

    #pragma once#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <mma.h>
#include <cuda_fp16.h>using namespace nvcuda;template<typename AType, typename BType, typename CType, typename DType, int M, int N, int K>
__global__ void tensorcore_test_kernel(const AType* a_mat,const BType* b_mat, CType c_val,DType* d_mat
) {wmma::fragment<wmma::matrix_a, M, N, K, AType, wmma::row_major> a_frag;wmma::fragment<wmma::matrix_b, M, N, K, BType, wmma::col_major> b_frag;wmma::fragment<wmma::accumulator, M, N, K, CType> c_frag;wmma::fragment<wmma::accumulator, M, N, K, DType> d_frag;wmma::load_matrix_sync(a_frag, a_mat, K);wmma::load_matrix_sync(b_frag, b_mat, K);wmma::fill_fragment(c_frag, (CType)c_val);wmma::mma_sync(d_frag, a_frag, b_frag, c_frag);wmma::store_matrix_sync(d_mat, d_frag, N, wmma::mem_row_major);
}template<typename FType>
void print_binary(FType value) {if constexpr (sizeof(FType) == 4) {unsigned int bits = *((unsigned int*)&value);printf("%d ", (bits >> 31) & 1);for(int i = 30; i >= 23; i--) printf("%d", (bits >> i) & 1);printf(" ");for(int i = 22; i >= 0; i--) printf("%d", (bits >> i) & 1);printf("\n");} else if constexpr (sizeof(FType) == 2) {unsigned short bits = *((unsigned short*)&value);printf("%d ", (bits >> 15) & 1);for(int i = 14; i >= 10; i--) printf("%d", (bits >> i) & 1);printf(" ");for(int i = 9; i >= 0; i--) printf("%d", (bits >> i) & 1);printf("\n");}
}void print_binary_tf32(float value) {unsigned int bits = *((unsigned int*)&value);printf("%d ", (bits >> 31) & 1);for(int i = 30; i >= 23; i--) printf("%d", (bits >> i) & 1);printf(" ");for(int i = 22; i >= 13; i--) printf("%d", (bits >> i) & 1);printf("\n");
}template<typename AType, typename BType, typename CType, typename DType>
DType run_test(const AType* a_vals, const BType* b_vals, CType c_val, const char* test_name) {const int M = 16, N = 16, K = 16;AType *deviceA, *hostA;BType *deviceB, *hostB;DType *deviceD, *hostD;hostA = (AType*)malloc(M * K * sizeof(AType));hostB = (BType*)malloc(K * N * sizeof(BType));hostD = (DType*)malloc(M * N * sizeof(DType));cudaMalloc(&deviceA, M * K * sizeof(AType));cudaMalloc(&deviceB, K * N * sizeof(BType));cudaMalloc(&deviceD, M * N * sizeof(DType));for(int i = 0; i < M * K; i++) hostA[i] = (AType)0;for(int i = 0; i < K * N; i++) hostB[i] = (BType)0;for(int i = 0; i < 4; i++) {hostA[i] = a_vals[i];}for(int i = 0; i < 4; i++) {hostB[i] = b_vals[i];}cudaMemcpy(deviceA, hostA, M * K * sizeof(AType), cudaMemcpyHostToDevice);cudaMemcpy(deviceB, hostB, K * N * sizeof(BType), cudaMemcpyHostToDevice);tensorcore_test_kernel<AType, BType, CType, DType, 16, 16, 16><<<1, 32>>>(deviceA, deviceB, c_val, deviceD);cudaMemcpy(hostD, deviceD, M * N * sizeof(DType), cudaMemcpyDeviceToHost);DType result = hostD[0];free(hostA);free(hostB);free(hostD);cudaFree(deviceA);cudaFree(deviceB);cudaFree(deviceD);printf("> Test: %s\n", test_name);printf("  Result: ");if constexpr (sizeof(DType) == 2) {printf("%e | ", (float)__half2float(result));} else {printf("%e | ", result);}print_binary(result);return result;
}inline float bits_to_float(unsigned int bits) {return *((float*)&bits);
}

下面尝试以 FP16 * FP16 + FP32 -> FP32 为例构建测试集：

测试用例

一组测试用例代表一次点积和一次加法：

\[d_{11} = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} + a_{14}b_{41} + c_{11} \]

包含四次乘法和一次 5 元累加器（5-operand adder）。

程序中调用一次 run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "..."); 来实现一次测试，输出结果及其二进制表示。

次正规数支持

  1. FP16 Subnormal

    {half a_vals[4] = {__float2half(ldexp(1., -24)), 0, 0, 0};half b_vals[4] = {__float2half(4.0), 0, 0, 0};float c_val = 0;run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Subnormal numbers, test #1");
} // 2^-22 if FP16 subnormal is supported

    输出：

    > Test: Subnormal numbers, test #1Result: 2.384186e-07 | 0 01101001 00000000000000000000000

    结果 \(2^{-22}\) 正确，Tensor Core 支持 FP16 的次正规数。

  2. FP32 Subnormal

    {half a_vals[4] = {0, 0, 0, 0};half b_vals[4] = {0, 0, 0, 0};float c_val = ldexp(1., -149);run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Subnormal numbers, test #2");
} // 2^-149 if FP32 subnormal is supported

    输出：

    > Test: Subnormal numbers, test #2Result: 1.401298e-45 | 0 00000000 00000000000000000000001

    结果 \(2^{-149}\) 正确，Tensor Core 支持 FP32 的次正规数。

  3. Subnormal 产生测试

    {half a_vals[4] = {__float2half(ldexp(1., -14)), 0, 0, 0};half b_vals[4] = {__float2half(ldexp(1., -1)), 0, 0, 0};half c_val = 0;run_test<half, half, half, half>(a_vals, b_vals, c_val, "Subnormal numbers, test #3/1");b_vals[0] = __float2half(1.0);c_val = __float2half(ldexp(-1., -15));run_test<half, half, half, half>(a_vals, b_vals, c_val, "Subnormal numbers, test #3/2");
} // 2^-15 (for both) if subnormal can be produced

    输出：

    > Test: Subnormal numbers, test #3/1Result: 3.051758e-05 | 0 00000 1000000000
> Test: Subnormal numbers, test #3/2Result: 3.051758e-05 | 0 00000 1000000000

    结果都是 \(2^{-15}\)，证明 Tensor Core 能够产生次正规数。

点积准确性测试

  1. 精度测试

    {half a_vals[4] = {__float2half(1. - ldexp(1, -11)), __float2half(1. - ldexp(1, -11)),__float2half(1. - ldexp(1, -11)), __float2half(1. - ldexp(1, -11))};half b_vals[4] = {__float2half(1. - ldexp(1, -11)), __float2half(1. - ldexp(1, -11)),__float2half(1. - ldexp(1, -11)), __float2half(1. - ldexp(1, -11))};float c_val = 0;float expected_d_val = 4 * (1 - ldexp(1, -10) + ldexp(1, -22));run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Exact product of binary16 inputs");printf("  expected: ");print_binary(expected_d_val);
} // 4*(1 - 2^-10 + 2^-22) if no precision loss

    输出：

    > Test: Exact product of binary16 inputsResult: 3.996095e+00 | 0 10000000 11111111100000000000100expected: 0 10000000 11111111100000000000100

    结果和预期的 \(4(1-2^{-10}+2^{-22})\) 相符。

  2. FP16 模式下中间精度测试

    {half a_vals[4] = {__float2half(1. - ldexp(1, -11)), __float2half(1. - ldexp(1, -11)), 0, 0};half b_vals[4] = {__float2half(1. - ldexp(1, -11)), __float2half(ldexp(1, -11)), 0, 0};half c_val = __float2half(0.);run_test<half, half, half, half>(a_vals, b_vals, c_val, "Temporary overflow in the Tensor Cores (all fp16)");
} // 1 - 2^-10 + 2^-11 if temporary (fp16) overflow is supported

    输出：

    > Test: Temporary overflow in the Tensor Cores (all fp16)Result: 9.995117e-01 | 0 01110 1111111111

    结果 \(1-2^{-10}+2^{-11}\)，说明即使输出为 FP16，硬件计算也是以 FP32 进行的，舍入到 FP16 是软件层面的。

  3. 舍入误差与加法顺序

    {half a_vals[4] = {__float2half(1.), __float2half(1.),__float2half(1.), __float2half(1.)};half b_vals[4] = {__float2half(ldexp(1, -25)), __float2half(ldexp(1, -25)),__float2half(ldexp(1, -25)), __float2half(ldexp(1, -25))};float c_val = 1;run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val,"Accuracy of the 5-operand adder in the Tensor Cores (c=1)");c_val = ldexp(1, -25);for (int i = 0; i < 4; i++) {char test_name[100];sprintf(test_name, "Accuracy of the 5-operand adder in the Tensor Cores (b[%d]=1), test %d", i + 1, i + 1);b_vals[i] = __float2half(1.);run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, test_name);b_vals[i] = __float2half(ldexp(1, -25));}
} // 1 for all permutations if rounded before adding// 2^(-25) not 2^(-24) because of the one extra bit in the significand alignment

    输出：

    > Test: Accuracy of the 5-operand adder in the Tensor Cores (c=1)Result: 1.000000e+00 | 0 01111111 00000000000000000000000
> Test: Accuracy of the 5-operand adder in the Tensor Cores (b[1]=1), test 1Result: 1.000000e+00 | 0 01111111 00000000000000000000000
> Test: Accuracy of the 5-operand adder in the Tensor Cores (b[2]=1), test 2Result: 1.000000e+00 | 0 01111111 00000000000000000000000
> Test: Accuracy of the 5-operand adder in the Tensor Cores (b[3]=1), test 3Result: 1.000000e+00 | 0 01111111 00000000000000000000000
> Test: Accuracy of the 5-operand adder in the Tensor Cores (b[4]=1), test 4Result: 1.000000e+00 | 0 01111111 00000000000000000000000

    均输出 1，说明对于所有可能的累加顺序而言，会先对数值进行舍入，在最坏情况下会有四次舍入误差；加法器的顺序会从较大的值开始——这在执行指数对齐时是必要的。

    由于存在保护位（见下方“加法器特性测试”），应当使用 \(2^{-25}\) 而不是 \(2^{-24}\) 测试。

舍入模式

IEEE 754 规定了四种舍入模式：RN（就近舍入），RZ（向零舍入），RU（向正无穷舍入）和 RD（向负无穷舍入）：

image

  1. 加法器舍入模式

    {half a_vals[4] = {__float2half(1.), __float2half(1.),__float2half(1.), __float2half(1.)};half b_vals[4] = {__float2half(2.), __float2half(ldexp(1, -23) + ldexp(1, -24)),__float2half(0), __float2half(0)};float c_val = 0;run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Rounding-mode for adder test 1");
} // 2 if rounding mode is RZ or RD{half a_vals[4] = {__float2half(1.), __float2half(1.),__float2half(1.), __float2half(1.)};half b_vals[4] = {__float2half(-2.), __float2half(-ldexp(1, -23) - ldexp(1, -24)),__float2half(0), __float2half(0)};float c_val = 0;run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Rounding-mode for adder test 2");
} // -2 if rounding mode is RZ

    使用两组对称的测试，估计加法器在正负数上的舍入模式。输出：

    > Test: Rounding-mode for adder test 1Result: 2.000000e+00 | 0 10000000 00000000000000000000000
> Test: Rounding-mode for adder test 2Result: -2.000000e+00 | 1 10000000 00000000000000000000000

    第一次尝试得到 \(2\)，说明可能是 RZ 或 RD；第二次得到 \(-2\)，说明是 RZ。

  2. FP32 到 FP16 舍入模式测试

    {half a_vals[4] = {__float2half(ldexp(1, -24)), __float2half(ldexp(1, -24)), 0, 0};half b_vals[4] = {__float2half(ldexp(1, -1)), __float2half(ldexp(1, -2)), 0, 0};half c_val = __float2half(0.);run_test<half, half, half, half>(a_vals, b_vals, c_val, "Rounding-mode test for FP32 to FP16 conversion");
} // 0 if RZ is used, and 2^-24 if RZ is not used
// which means FP32 to FP16 conversion is done by software.

    输出：

    > Test: Rounding-mode test for FP32 to FP16 conversionResult: 5.960464e-08 | 0 00000 0000000001

    结果为 \(2^{-24}\)，表明 RZ 并没有被采用，作为软件层面的操作，这里的舍入策略和加法器不同。

加法器特性研究

  1. 对齐保护位

    {half a_vals[4] = {__float2half(1.), 0, 0, 0};half b_vals[4] = {__float2half(1.), 0, 0, 0};float c_val = ldexp(1, -24) - 1.0;run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Extra bits in the significand alignment");
} // 2^-24 if extra bits in the significand alignment are supported

    输出：

    > Test: Extra bits in the significand alignmentResult: 5.960464e-08 | 0 01100111 00000000000000000000000

    得到结果 \(2^{-24}\)，说明存在至少一位保护位，以改善截断导致的精度误差。

    这点和论文用的 V100 卡测试结果不同，但原文提到 T4 和 A100 也是存在保护位的，因此并不意外。

  2. 加法归一化时机

    {half a_vals[4] = {__float2half(1.), __float2half(1.),__float2half(1.), __float2half(1.)};half b_vals[4] = {__float2half(ldexp(1, -24)), __float2half(ldexp(1, -24)),__float2half(ldexp(1, -24)), __float2half(ldexp(1, -24))};float c_val = 1.0 - ldexp(1, -24);run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Normalization in addition");
} // 1 + 2^-23 if halfway-normalization in addition is not supported

    如果 5 元加法器不支持对部分和归一化，可能导致精度的丢失。输出：

    > Test: Normalization in additionResult: 1.000000e+00 | 0 01111111 00000000000000000000001

    结果似乎为 \(1\)，但观察二进制发现其实是 \(1+2^{-23}\)，而如果保持归一化，\(1+2^{-24}\) 时会因为指数差异过大而无法表示，最后保持为 \(1\) 直至输出。因此加法归一化仅在输出时使用。

  3. 减法归一化时机

    和上面同理，但是出现了和论文不同的结果：

    {half a_vals[4] = {__float2half(1.), __float2half(1.),__float2half(1.), __float2half(1.)};half b_vals[4] = {__float2half(1.), -__float2half(ldexp(1, -24)), 0, 0};float c_val = ldexp(1, -24) - 1.0;run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Normalization in subtraction");
} // 0 if halfway-normalization in subtraction is supported(?)// not sure because of extra guard bits.

    输出：

    > Test: Normalization in subtractionResult: 0.000000e+00 | 0 00000000 00000000000000000000000

    考虑到保护位的存在，结果得到 0（表示存在部分和正规化？）可能是保护位暂存的部分精度导致，因此这个测试集无法直接说明结论。

  4. 额外溢出位

    由于没有部分和正规化，运算途中可能出现因为进位而整数位溢出的情况。

    {half a_vals[4] = {__float2half(1.), __float2half(1.),__float2half(1.), __float2half(1.)};half b_vals[4] = {__float2half(1.), __float2half(1.),__float2half(1.), __float2half(ldexp(1, -23))};float c_val = 1.0 + ldexp(1, -22) + ldexp(1, -23);for (int i = 1; i <= 4; i++) {char test_name[100];sprintf(test_name, "Extra bits for carry out : 2 bits, test %d", i);run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, test_name);std::swap(b_vals[(i + 2) % 4], b_vals[i - 1]);}
} // 4 + 2^-21 for all if 2 extra bits for carry out are supported
{half a_vals[4] = {__float2half(1.), __float2half(1.),__float2half(1.), __float2half(1.)};half b_vals[4] = {__float2half(1.), __float2half(1.5),__float2half(1.75), __float2half(1.875)};float c_val = 1.875;run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Extra bits for carry out : 3 bits");
} // 8 if 3 extra bits for carry out are supported

    采用排列是因为消除加法顺序（对于相同值之间）可能的影响。输出：

    > Test: Extra bits for carry out : 2 bits, test 1Result: 4.000000e+00 | 0 10000001 00000000000000000000001
> Test: Extra bits for carry out : 2 bits, test 2Result: 4.000000e+00 | 0 10000001 00000000000000000000001
> Test: Extra bits for carry out : 2 bits, test 3Result: 4.000000e+00 | 0 10000001 00000000000000000000001
> Test: Extra bits for carry out : 2 bits, test 4Result: 4.000000e+00 | 0 10000001 00000000000000000000001
> Test: Extra bits for carry out : 3 bitsResult: 8.000000e+00 | 0 10000010 00000000000000000000000

    都输出了正确的结果，可以推断至少有三个额外溢出位。

单调性测试

当运算结果满足 \(\forall x_i \le y_i \to \sum_i x_i \le \sum_i y_i\) 时，就说明满足单调性（monotonicity）。由于精度问题，这个显然的性质在浮点计算下并不容易保证。

printf("MONOTONICITY OF THE DOT PRODUCTS TESTS\n");
{half a_vals[4] = {__float2half(1.), __float2half(1.),__float2half(1.), __float2half(1.)};half b_vals[4] = {__float2half(ldexp(1, -24)), __float2half(ldexp(1, -24)),__float2half(ldexp(1, -24)), __float2half(ldexp(1, -24))};float c_val = 1 - ldexp(1, -24);run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Monotonicity of the dot products test 1 (less in exact)");c_val = 1;run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Monotonicity of the dot products test 2 (larger in exact)");
} // ... not good testcase because of extra guard bits.{half a_vals[4] = {__float2half(0.5), __float2half(0.5),__float2half(0.5), __float2half(0.5)};half b_vals[4] = {__float2half(ldexp(1, -24)), __float2half(ldexp(1, -24)),__float2half(ldexp(1, -24)), __float2half(ldexp(1, -23) + ldexp(1, -24))};float c_val = 1 - ldexp(1, -24);run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Monotonicity of the dot products test 1+ (less in exact)");c_val = 1;run_test<half, half, float, float>(a_vals, b_vals, c_val, "Monotonicity of the dot products test 2+ (larger in exact)");
} // improved testcase.

仍然是由于保护位，对于 V100 的测试数据，需要再进一步完善：

MONOTONICITY OF THE DOT PRODUCTS TESTS
> Test: Monotonicity of the dot products test 1 (less in exact)Result: 1.000000e+00 | 0 01111111 00000000000000000000001
> Test: Monotonicity of the dot products test 2 (larger in exact)Result: 1.000000e+00 | 0 01111111 00000000000000000000010
> Test: Monotonicity of the dot products test 1+ (less in exact)Result: 1.000000e+00 | 0 01111111 00000000000000000000001
> Test: Monotonicity of the dot products test 2+ (larger in exact)Result: 1.000000e+00 | 0 01111111 00000000000000000000000

第一次测试没有看出问题，但第二组表明单调性其实是没有满足的。

小结

数值行为的推断实验是为了弥补 Tensor Core 运算机制的半透明的遗憾，如果能精准模拟数值行为，就能复现运算精度并不高的机器学习等实验，从而设计完善的数值误差分析工具，精准模拟硬件行为，乃至优化实验的可再现性。

同时，不难发现，随着 Tensor Core 的不断迭代——论文采用的 V100 是第一代，A100 是第三代，而 RTX4060 已经是第四代——其精度水平也在不断提升，因此对于这些持续升级的硬件机构，持续做这些分析是有必要的。

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当前制造业对空压机设备的需求日益精细化，节能降耗、稳定可靠、智能控制等核心诉求不断升级，但市场上空压机厂家资质参差不齐，部分产品存在能效不达标、运行稳定性差、售后响应滞后等问题，导致采购方在选型时面临&…
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推荐几家城际出行网约车公司

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推荐广州城市快线汽车租赁有限公司：您的理想城际出行选择在当今快节奏的生活中，城际出行已成为许多人工作、生活的重要组成部分。选择一家可靠、专业的网约车公司至关重要。在众多选择中，广州城市快线汽车租赁有限公…
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实用指南：MySQL——联合查询数据表

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实用指南：MySQL——联合查询数据表2025-11-10 18:49 tlnshuju 阅读(0) 评论(0) 收藏 举报pre { white-space: pre !important; word-wrap: normal !important; overflow-x: auto !important; display: block !imp…
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WORK 4

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这个作业属于哪个课程：https://edu.cnblogs.com/campus/fzu/gjyycx 这个作业要求在哪里： https://edu.cnblogs.com/campus/fzu/gjyycx/homework/14577 学号：102300321 姓名：陈传星//
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2025年知识付费软件平台不踩坑：五星推荐创客匠人，知识店铺搭建/知识内容变现系统/在线教育SaaS平台/线上卖课平台/AI赋能和陪跑服务双保障

2025年知识付费软件平台不踩坑：五星推荐创客匠人，知识店铺搭建/知识内容变现系统/在线教育SaaS平台/线上卖课平台/AI赋能和陪跑服务双保障

随着 AI 技术深度渗透与内容创业规模化发展，知识付费 SaaS 系统已从教育机构专属工具，逐步普及至培训讲师、企业创始人、垂直领域博主等多元群体，2025 年市场需求持续攀升。但行业扩张也带来产品功能同质化、服务落…
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面向对象大作业之课程设计自主选题-第一次提交

面向对象大作业之课程设计自主选题-第一次提交

一.使用Deepseek进行选题，选择了以教务管理系统为题。 二.做一个教务管理系统用来统计班级学生学号成绩；以下是示例： https://www.cnblogs.com/bigll666/p/10281813.html 实现的功能： 1.实现添加学生功能：班级、学…
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2025年专升本教育机构综合评估与推荐，上海专升本机构/山东专升本机构/免试专升本机构推荐

2025年专升本教育机构综合评估与推荐，上海专升本机构/山东专升本机构/免试专升本机构推荐

当前专升本教育市场需求持续增长，考生对教育机构的教学质量、师资力量和课程体系要求不断提高。然而市场上培训机构水平参差不齐，部分机构存在师资力量薄弱、课程体系不完善、教学效果不达预期等问题，导致学生在选择…
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啊？

啊？

2025.11.10 随记日常花絮，不建议当题解看。 事情的起因是模拟赛考了这么一道题： 。 他放在了 T2，我也场切了，所以我觉得这就是个简单贪心题。但是赛后讲评人说这个题等价于 NOIP2023 T3，由于我不太相信自己能场切…
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Docker部署FileBrowser轻量网盘

Docker部署FileBrowser轻量网盘

本文在Ubuntu和威联通NAS演示了Docker部署FileBrowser轻量网盘的方法官网：Installation - File Browser filebrowser 是一款非常优秀的文件管理工具，并且是跨平台。安装也非常简单，安装后就可以使用，同样使用也非常…
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2025/11/10~2025/11/16 做题笔记 - sb

2025/11/10~2025/11/16 做题笔记 - sb

2025/11/10 C. 圆环（circle） 感觉比 T2 要简单/kk dp 状态是好想的，非常明显可以设 \(f_{i, j}\) 表示当操作完 \(i\) 操作，另一只手在 \(j\) 位置的最小代价。这个东西的状态转移方程也不难。当由不是完成操作的手…
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校园二手物品交易平台

校园二手物品交易平台

校园二手物品交易平台——Java面向对象课程设计方案 组员名单：薛朝建、陈博凯、陈炤辉 一、AI工具辅助选题历程 在Java面向对象课程设计的选题阶段，我们借助多款AI工具提升决策效率：核心使用DeepSeek大模型开展选题…
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pytorch、torchaudio、torchvideo版本对应关系

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PyTorch版本 torchvision版本 torchaudio版本 2.5.0 0.20.0 2.5.0 2.4.1 0.19.1 2.4.1 2.4.0 0.19.0 2.4.0 2.2.1 0.17.1 2.2.1 2.2.0 0.17.0 2.2.0 2.1.0 0.16.0 2.1.0 …
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微信小程序开发过程中，体验版调试模式是一个非常实用的功能，尤其适用于测试人员、产品或团队成员在正式发布前进行作用验证。以下是对微信小应用“体验版调试模式”的详细设置说明，包括操作步骤等

微信小程序开发过程中，体验版调试模式是一个非常实用的功能，尤其适用于测试人员、产品或团队成员在正式发布前进行作用验证。以下是对微信小应用“体验版调试模式”的详细设置说明，包括操作步骤等

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【四级】全国大学英语四级历年真题及答案解析PDF电子版（2015-2025年6月） - 详解

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OpenGL进化史：从实验室到现代图形革命的里程碑之旅

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OpenGL进化史：从实验室到现代图形革命的里程碑之旅 引言：为什么我们需要了解OpenGL的历史？ OpenGL（Open Graphics Library）是计算机图形学的基石之一，驱动了从游戏到AI可视化、从虚拟现实到电影特效的无数创新。…
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提示词语料收集

提示词语料收集

先开始收集常用的，不做分类，后期多了再分类处理 1、你是个XXXX，我是个菜鸟，用我能明白的方式向我解释一下YYY2、你个xxx，为我设计个yyy系统，并提供详细的编码实现与目录结构，完成设计后对你的设计进行评分，1分…
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新手做幼儿园营养食谱公众号在哪找好看的素材？

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如果你刚开始做幼儿园营养食谱的公众号，肯定会为找素材和排版发愁。其实，用对小工具就简单多了，比如小墨鹰编辑器，里面就有很多适合这个主题的素材。 第一步：先定一个“可爱又开胃”的基调在小墨鹰的模板中心，你…
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C语言中的数据存储

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1.数据类型 c语言自带的一些数据类型 char //字符型 1byte short //短整型 2byte int //整型 4byte long //长整型 4 or 8byte long long //更长的整型 8byte float…
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