题解：AT_agc068_a [AGC068A] Circular Distance

牛牛题，看了很多次才看懂

题意：给出 \(L,n\)，问在一个 \(L\) 长的环上，放置 \(n\) 个点，定义两点距离为两种路径中长度较短的长度，问所有放置方式的点的距离最大值之和。

做法：

首先先强制选定 \(0\) 号点，最后将答案乘上 \(\frac{L}{n}\) 即可，因为其可以作为 \(L\) 个点中的任何一个。

然后考虑如何计算答案。最大值等于 \(l\) 的比较难算，我们考虑差分一下，改成小于等于 \(l\) 的减去小于 \(l\) 的。

考虑怎么计算距离小于等于 \(l\) 的，因为我选了 \(0\)，所以对于 \([1,l]\) 的和 \([L-l,L-1]\) 内的都可以选，\([l+1,L-l-1]\) 内都不可选。我记 \(len=L-2l-2\)。注意到这两个可选区间内的点都可以随便选，主要是两部分之间的限制相当麻烦。

我们称 \([1,l]\) 内的点为白点，\([L-l,L-1]\) 的点为黑点。手玩一下 \([L-l,L-1]\) 这些点会 ban 掉的区间，会发现，\(L-x\) 会 ban 掉 \([l+1-x,L-l-1-x]\) 也是一个长度为 \(len\) 的区间平移一下。我们把这些 ban 掉的区间只考虑对 \([1,l]\) 的影响，发现应该是若干个重叠的 \(len\) 长区间，最后的若干位置会叠出去，但是我们也只取 \([1,l]\) 的部分。

那么注意到我有一个黑色点的连续区间，那么映射在白色这边，就会是一段连续的黑色点区间，然后要求后面连续 \(len\) 个点被 ban 掉不能被选。

那么我们考虑有多少个除去到 \(l\) 的黑色连续段，记个数为 \(j\)，为什么除去 \(l\) 因为最后一个连续段不必要禁掉一个长度为 \(len\) 的区间，有一个我们就至少需要禁掉 \(len\) 长的区间不能被选。我们考虑选出来哪些点，那么这样会有 \(l-len\times j\) 可以被选，从中任意选 \(n-1\) 个点作为黑白点选出来，方案数为 \(\binom{l-len\times j}{n-1}\)。

然后我们考虑具体确定黑白点情况，那么我考虑把第一个点 \(0\) 当成白点放到最前，同时因为最后还有一个黑色连续段，加入最后有个黑点，所以总共有 \(n+1\) 个点。然后考虑我要分成多少个段，应该是 \(2j+2\) 个段，那么方案数就为 \(\binom{n}{2j+1}\)。

乘起来就可以得到答案。注意 \(l=\frac{n}{2}\) 可以直接计算，答案为 \(\binom{L-1}{n-1}\)。直接计算即可。

复杂度瓶颈在于我需要枚举 \(len\) 的倍数，复杂度 \(O(L\log L)\)。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1e6 + 5, mod = 998244353;
int jc[maxn], revjc[maxn], n, m;
int C(int m, int n) {if(m < 0 || n < 0 || m < n)return 0;return jc[m] * revjc[n] % mod * revjc[m - n] % mod;
}
void prepare() {jc[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++)jc[i] = jc[i - 1] * i % mod;revjc[0] = revjc[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++)revjc[i] = (mod - mod / i) * revjc[mod % i] % mod;for (int i = 2; i <= n; i++)revjc[i] = revjc[i] * revjc[i - 1] % mod;
}
int d[maxn];
signed main() {cin >> n >> m;prepare();for (int i = 1; i < n / 2; i++) {int l = n - 2 * i - 2;int ans = 0;for (int j = 0; i - l * j >= m - 1 && 2 * j + 1 <= m; j++)ans = (ans + C(i - l * j, m - 1) * C(m, 2 * j + 1) % mod) % mod;d[i] = ans;}int ans = 0;d[n / 2] = C(n - 1, m - 1);for (int i = 1; i <= n / 2; i++) ans = (ans + (d[i] - d[i - 1] + mod) * i) % mod;cout << ans * n % mod * revjc[m] % mod * jc[m - 1] % mod << endl;return 0;
}