Nim 游戏与 SG 函数

已完成今日《Nim 游戏与 SG 函数》大学习。

本文比较基础，并未涉及到各种各样的 Nim 游戏，因为笔者比较菜。

1. 公平组合游戏

定义一个游戏为公平组合游戏，当且仅当：

• 双方都知道当前局面的所有信息。
• 每一步的操作与玩家无关。
• 游戏一定在有限步以非平局结束，且同一个状态不可能出现两次。

我们研究公平组合游戏，主要研究先手必胜还是必败。所以定义 \(\mathcal{N}\) 态为（当前手）必胜态，\(\mathcal{P}\) 态为（当前手）必败态。容易发现，无法操作的状态一定是 \(\mathcal{P}\) 态。

注：在游戏的开局，当前手是先手。这好像是废话。

我们可以把游戏的所有状态画成图，如果 \(X\) 可以一步到 \(Y\)，那就连一条 \(X \to Y\) 的有向边。定义这样的图为博弈图。容易发现，对于公平组合游戏，博弈图总是 DAG。

2. Nim 游戏

2.1 Easy Version

现有 \(n\) 个石子，Alice 和 Bob 轮流取 \(i \in [1, 3]\) 个石子（\(i\) 不固定），Alice 先手。无法操作的人失败。何时 Alice 必胜？

什么小奥题。

显然，当 \(4 \nmid n\) 时，Alice 必胜；\(4 \mid n\) 时，Alice 必败。在 \(4 \mid n\) 时，Bob 只需与 Alice 共同拿 \(4\) 个即可。在 \(4 \nmid n\) 时，Alice 先拿 \(n \bmod 4\) 个，这样 Bob 下轮就是 \(\mathcal{P}\) 态。

以 \(n = 6\) 为例，画出博弈图：

注：上图建议搭配 Dark Reader 观看，否则你会看不到边。当然，你可以自己画一个，只有 \(14\) 条边。

红色为 \(\mathcal{P}\) 态，绿色为 \(\mathcal{N}\) 态。观察可以发现：

• \(\mathcal{N}\) 态的后继中一定存在 \(\mathcal{P}\) 态。此时当前手直接走到 \(\mathcal{P}\) 态，就可以让对方必败。
• \(\mathcal{P}\) 态的所有后继一定全为 \(\mathcal{N}\) 态。此时当前手无法走到 \(\mathcal{P}\) 态，就无法让对方必败，那么自己一定必败。

2.2 Medium Version

现有 \(n\) 个石子，Alice 和 Bob 轮流取 \(i \in S\) 个石子（\(i\) 不固定，\(S\) 固定），Alice 先手。无法操作的人失败。何时 Alice 必胜？

这时就没有简单的判定方法了。

考虑给每个状态一个编码，使得所有必败状态的编码相同。很明显，直接令 \(\mathcal{N} \to 1, \mathcal{P} \to 0\) 即可。但是这样扩展性不强，有没有扩展性强的做法呢？

考虑 \(\operatorname{mex}\)^[1]。发现当 \(0 \in S\) 时，\(\operatorname{mex}(S) \neq 0\)；当 \(0 \not \in S\) 时，\(\operatorname{mex}(S) = 0\)。那么直接把当前状态的后继的编码做一个 \(\operatorname{mex}\) 不就是当前状态的编码吗？于是定义：

\[\operatorname{sg}(u) = \operatorname{mex} \set{ \operatorname{sg}(v) : v \in \operatorname{son}(u) } \]

显然，必败态的 \(\operatorname{sg}\) 为 \(0\)。判定时，按拓扑序倒序算出每个点的 \(\operatorname{sg}\)，然后判定起点的 \(\operatorname{sg}\) 是否为 \(0\) 即可。

定义游戏的 \(\operatorname{sg}\) 为它的初始局面的 \(\operatorname{sg}\)。

2.3 Hard Version

现有 \(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆石子有 \(x_i\) 个。Alice 和 Bob 轮流做以下操作：

• 选一堆石子。
• 在那一堆中取走任意多个石子。

Alice 先手，无法操作的人失败。何时 Alice 必胜？

发现这其实是 \(n\) 个 Medium Version 拼到一起。因为可以取走任意多个，所以第 \(i\) 堆的 \(\operatorname{sg}\) 一定为 \(x_i\)。

事实上，Alice 必胜当且仅当 \(\bigoplus \limits_{i = 1}^n x_i \neq 0\)。

证明：若 \(\bigoplus \limits_{i = 1}^n x_i = 0\)，此时怎么操作都会让 \(\bigoplus \limits_{i = 1}^n x_i \neq 0\)。假设操作了第 \(i\) 列，发现只有当 \(x_i = \bigoplus \limits_{j \neq i} x_j\) 时 \(\bigoplus \limits_{i = 1}^n x_i = 0\)，但是操作后 \(x_i \neq \bigoplus \limits_{j \neq i} x_j\)，所以 \(\bigoplus \limits_{i = 1}^n x_i \neq 0\)。

若 \(\bigoplus \limits_{i = 1}^n x_i \neq 0\)，此时一定可以操作到 \(\bigoplus \limits_{i = 1}^n x_i = 0\) 的状态。考虑 \(x_i\) 的二进制表示，找到最大的最高位需要变化的 \(x_i\)，然后把它减掉一个值，让 \(\bigoplus \limits_{i = 1}^n x_i = 0\)。容易发现，这个值一定存在。\(\square\)

所以我们定义这个游戏的 \(\operatorname{sg}\) 为 \(\bigoplus \limits_{i = 1}^n x_i\)。类似的，设游戏 \(G\) 由互相独立的 \(G_1, G_2, \cdots, G_n\) 组合而成，定义：

\[\operatorname{sg}(G) = \bigoplus \limits_{i = 1}^n \operatorname{sg}(G_i) \]

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1. 定义 \(\operatorname{mex}(S)\) 为最小的不在 \(S\) 内的非负整数。 ↩︎