P10627 中暑

题目大意：

有 \(n\) 个盒子，每个盒子有个容量 \(a_{i}\)，接下来有 \(m\) 次投球操作。
每次给定一个 \(x\)，表示你可以将当前这个球放到第 \(x\) 或者第 \(x + 1\) 个盒子里（前提是他没满），如果两个盒子都满了，就将球放到另外一个无穷大的容器中。
求那个无穷大的容器最多能盛多少球。
\(n,m \le 8000\)。

解题思路：

没有什么好的贪心策略，考虑 \(dp\)。
看着像二分图匹配问题，但直接做不能知道什么时候两侧的盒子全满了。

考虑放在相邻的两个之间的球，能贡献答案的一定是一个时间的后缀。
由于我们不能记录每个时刻的盒子的状态，考虑钦定每个盒子结束的时间 \(t_{i}\)，特殊的，如果 \(t_{i} = inf\)，表示这个盒子没满。
那么我们对于一个 \(i\) 时刻放在 \(x\) 和 \(x + 1\) 之间的球，如果 \(i > \max(t_{x}, t_{x + 1})\)，那么他就能贡献答案。

至于一组 \(t\) 合不合法，只需要看他能不能每个空位都全部匹配上，而一个球能匹配一个箱子当且仅当他俩相邻且 \(t_{i}\) 大于等于球出现的时间。
那么根据 \(Hall\) 定理，要对每个 \(l,r\) 都满足 \(\sum_{i = l}^{r} a_{i} \le\) 能取到的并集，当然不能包含 \(t_{i} = inf\) 的。

这样就能从前往后 \(dp\) 了，设 \(dp_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个盒子，最后一个盒子选的 \(t_{i}\) 为 \(j\)，且前面的最小值为 \(k\) 的答案。
这样枚举下一个选的 \(t_{i + 1}\)，就能做到 \(O(n^3)\)。

然后用前缀后缀优化一下就行。
\(O(n^2)\)。

如果 \(dp\) 里需要记录状态，考虑钦定是一种很常用的方法。