超级意识流数分笔记（抱佛脚版）

1. Fubini

\[\int_E f(x,y)d(\mu\otimes\nu)(x,y)=\int_X(\int_Y 1_E(x,y)f(x,y)d\nu(y))d\mu(x) \]

条件：可积或非负可测且 \(E(f>0)\) 为 \(\sigma\) 有限。

并顺带有 \(1_E(x,y)f(x,y)\) 在 \(Y\) 上可测，\(\int_Y 1_E(x,y)f(x,y)d\nu(y)\) 在 \(X\) 上可测。

2. 重积分换元公式

\(C^1\) 变换下的测度估计：(当 \(\varphi\) 为单射时去等)

\[H_k(\varphi(E))\leq \int_E J_{\varphi}(x)dx \]

积分换元公式：（将嵌在高纬度中的低维转到本维中计算）

\(\Omega\subset \R^k\) 开，\(E\subset \Omega\) 可测，\(\varphi:\Omega\to \R^n\) 为 \(C^1\) 且单，则：

• \(f(y)\) 在 \(\varphi(E)\) 上可测 \(\Leftrightarrow\) \(f(\varphi(x))J_{\varphi}(x)\) 在 \(E\) 上可测；

• \(\int_{\varphi(E)}f(y)dH_k(y)=\int_{E}f(\varphi(x))J_{\varphi}(x)dx\)

其中第二条的条件是非负可测或可积。

两个应用：

• 三角换元

\[\int_{\R^n}f(x)dx=\int_{[0,\infty)\times [0,\pi]^{n-2}\times [0,2\pi]} f(r\Phi(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{n-1}))r^{n-1}\sin^{n-2}\theta_1\cdots drd\theta \]

• 球极坐标换元（三角换元的隐式表达）

\[\int_{\R^n}f(x)dx=\int_0^{\inf} r^{n-1}dr\int_{\mathbb S^{n-1}} f(rw)d\sigma(w) \]

以下为做了 2023 年老卢期中试卷后的若干疑问与点评：

第一题注意不一定有中值定理（何时有中值定理？连通？道路连通？）但是可以讲 \(f(\xi_i)m(E_i)\) 写作 \(\int_{E_i}f(\xi_i)dx\)。

第二题，令 \(F(u,v)=f(u)\) 知其在 \(I\times J\) 上可测，\(f(\varphi^1)=F(\varphi)\)，又由 \(\varphi\) 为 \(C^1\) 的单射知 \(F\) 在 \(\varphi(\Omega)\) 上可测等价于 \(F(\varphi)|\det \varphi'|\) 在 \(\Omega\) 上可测，又 \(|\det \varphi'|>0\) 故可省去。

第三题，换元处如何理解，定义域或许马马虎虎便可，使用正常黎曼积分做变换可算出答案。但切记补上运用 fubini 或积分换元公式的条件。

第四题启示我们三角换元的顺序是可交换的，以及多使用特征函数书写过程。

第五题知对于光滑超曲面而言，可定向等价于存在连续的法向量场，特殊情况考虑莫比乌斯带。

第六题，在做此题还有前面后面若干题时一直疑惑行列式不为零到底出现在哪：

光滑流形的定义：所有局部图满足 \(\varphi\in C^r\) 类且处处满秩。

第七题，其实就是简单的换元，但是由于没有 \(\mathbb S^{n-1}\to \mathbb S^{n-1}\) 相关理论，考虑找一个 \(\R^n\) 的中间值。

注意到形式类似于球极换元，于是令 \(F(x)=f(x/|x|)\)，然后考虑：

\[\int_{\mathbb B^n} F(x)dx=\int_{\R^n} 1_{\mathbb B^n}(x)F(x)dx=\int_{0}^{\infty} r^{n-1} 1_{r\leq 1} dr\int_{\mathbb S^{n-1}}F(rw)d\sigma(w)=\frac 1n\int_{\mathbb S^{n-1}}F(rw)d\sigma(w) \]

另一方面，可以在第二步考虑线性变换（将其扩展到 \(\R^n\) 上就是为了方便这一步线性变换）：

\[=|\det A|\int_{\R^n} 1_{\mathbb B^n}(Ax) F(Ax)dx \]

第八题，先考虑复合再逐一考虑换元。我好像对于换元比较熟练了。

第九题，我咋没在书上见过锐角定理啊兄弟？