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Datalab
数字的存储
内存被划分为不同大小的字块，32位CPU->4字节，64位CPU->8字节
对字长\(w\)的机器而言，虚拟地址范围为\(0～2^w-1\)，即有\(2^w\)个字节
64位架构地址空间限制为48位虚拟地址，约为\(256TB\)(\(2^{48}Bytes\))，但是仍然在64位逻辑上处理算术运算
编译器通过保持字节对齐，提高硬件效率
无论32位机器还是64位机器，\(int\_32t\)(int)和\(int\_64t\)(long long)都分别占4个和8个字节，32位机器在具体实现上，采用两个32位\(int\_32t\)模拟64位\(int\_64t\)
而浮点寄存器有自己的宽度标准，与通用寄存器宽度无关，如\(double\)始终占8个字节
小端法(Windows,Linux)：最低有效位所在字节存储地址在最前面
大端法(Sun,互联网)：最高有效位所在字节存储地址在最前面
二进制下的整数
1. 补码
对于 \(w\) 位的无符号整数\(x\)：\(x = \sum\limits_{i=0}^{w-1}a_i \times2^i\)
对于\(w\)位的有符号整数\(x\) : \(x = -2^{w-1} \times a_{w - 1}+\sum\limits_{i=0}^{w-2}a_i \times2^i\)(补码表示)
在此种表示方式下有符号整数\(-x\)与无符号整数\(2^w-x\)二进制编码相同
原理：在\(mod\) \(2^w\) 意义下 \(-x\) 与 \(2^n - x\)等价， 溢出的情况下仍满足加法与乘法结合律，交换律等定律
无符号整数与有符号整数的比较：有符号整数类型转换为无符号整数再进行比较 \(eg\): \(-1\) \(>\) \(0U\)
无符号整数与符号整数的转换:
\(-t+u=2^w (t<0)\)
\(t=u(t \geq 0)\)
2.符号扩展与数字截断
符号扩展：在不改变值的情况下提升一个\(w\)位有符号整数的位数
case1:若符号位\(a_{w-1} = 0\)
直接将\(a_w\)设为\(0\)，扩展到了\(w+1\)位
case2:若符号位\(a_{w-1}=1\)
将第\(a_w\)设为\(1\)，第\(a_w\)和\(a_{w-1}\)的贡献从\(-2^{w-1}\)到\(-2^{w}+2^{w-1}\)不变，扩展到了\(w+1\)位
即扩展到第\(w+1\)位时有\(a_w=a_{w-1}\)
数字截断：舍弃数字第\(k\)位及其以前的所有位
无符号数数字截断等价于对\(2^k\)取模
从较小整数类型转换到较大整数类型时，先进行符号扩展，然后再进行有无符号的类型转换
eg. 对于short x; (unsigned)x等价于(unsigned)(int)x
3.运算
对于两个\(w\)位整数的运算，加法得到的结果最多为\(w+1\)位，截断第\(w+1\)位得到\(w\)位整数，对无符号整数来说等价于对结果\(mod\) \(2^w\)
乘法得到的结果最多为\(2w\)位，截断前\(w\)位得到\(w\)位整数
\(w\)位整数与常数相乘的时候，编译器会将常数展开成多个右移运算的加减进行加速
eg. x*14=(x<<3)+(x<<2)+(x<<1)
逻辑右移：右移一位后在最高位补0
算术右移：右移一位后，若符号位原本为1，则在最高位补1，否则补0
除以2的幂时：
- 无符号数采用逻辑右移，等价于向下取整
- 有符号数需要特殊处理：编译器会生成先加偏置再算术右移的代码，以保证向零取整的结果与C语言标准一致
4.逻辑右移与算术右移
二进制下浮点数
1.浮点数的表示
标准化之前
对浮点数\(x\)有：\(x=\sum \limits_{i=-j}^{k}a_i \times2^i\)
左移，右移在算术上仍然等价于\(\times2\) 和 \(\div 2\)，但是误差大，受位数有限制约
标准浮点数表示法：IEEE浮点数
IEEE浮点数
符号位(s) + 阶码位(exp) + 尾数位(frac)
单精度32位 双精度64位 (和英特尔扩展精度80位)
32 = 1 + 8 + 23
64 = 1 + 11 + 52
IEEE浮点标准用\(V=(-1)^s \times 2^E * M\)表示浮点数
设\(exp=\sum\limits_{i=0}^{k-1}2^ie_i\),\(bias=2^{k-1}-1\)(无符号整数)
\(frac = \sum\limits_{i=0}^{n-1}f_i\times2^{i-n}\)(分数)
1.规格化的情况(\(1 \leq exp \leq 2^k-2\))
\(E=exp-bias\)，\(M=1.0 + frac\)，那么有\(-2^{k-1} + 2 \leq E \leq 2^{k-1} -1\)
2.非规格化的情况(\(exp = 0\))
\(E=1-bias\)，\(M=frac\)
用来表示\(0\)和极其接近\(0\)的值
注：\(+0.0\)和\(-0.0\)是两个不同的数
3.特殊值(\(exp = 2^k-1\))
\(frac = 0\):\(V=INF\)
\(frac \neq 0\):\(V=NaN\)
注：
1.引入\(bias\)的意义：阶码无需引入符号位，使得正负相同的浮点数大小比较可以直接二进制按位比较
2.非规格化情况下\(E\)取\(1-bias\)，使得非规格化最大值为\(2^{2-{2^{k-1}}} \times (1-{2^{-n}})\)，而规格化最小值为\(2^{2-{2^{k-1}}}\)，二者十分接近
2.整数转浮点数(以将(int)114转换为float为例)
1.转为二进制下科学计数法
\(114 = (1110010)_2 = (1.110010)_2 \times 2 ^ 6\)
2.去掉小数点前的1并在末尾添加0直到\(n\)(23)位，得到尾数部分
\(1.110010 -> 11001000000000000000000\)
3.将阶数加上偏移值\(2^{k-1}-1\)(127)，转为二进制得到阶码部分
\(2^6 + 127 = 191 ＝ (10111111)_2\)
4.加上符号位，将阶码尾数拼起来
\((01011111111001000000000000000000)_2\)
由该过程可知，整数二进制编码与其浮点数表示的尾数部分除第一个1外重合
3.思考：假设阶码足够大，有\(n\)位尾数的浮点数不能精确表示的最小正整数为\(2^{n+1}+1\)
证明：\(n\)位的\(frac\)再加上尾数隐式的\(1.0\)一共\(n+1\)位，乘\(2^E\)可以看做左移\(E\)位，在阶码可以取到无穷大的情况下，可以取遍\(1 ～ 2^{n+1}-1\)，同时在\(frac\)全为\(0\)的情况下，左移\(n+1\)位得到\(2^{n+1}\)，即\(1～2^{n+1}\)都可以表出，而\(2^{n+1}+1\)无法表出
推论：\(double\)在能准确表示的最大正整数为\(2^{53}=9007199254740992\)
警钟撅烂：double r = 1e18+5; \(r\)的值仍然为\(10^{18}\)
4.浮点数的运算
舍入：找到最接近的值\(x\)，使其可以按期望的浮点形式表示出来
向零舍入，向上舍入，向下舍入
向偶数舍入：优先向满足条件的最接近的数舍入，若存在两个这样的数，则向最低有效位为偶数的那个数舍入(避免了统计误差)
浮点加法，乘法运算不满足结合律，浮点乘法在加法上不存在分配律
eg.对于\(float\)有\(1.14+1e18-1e18=0\)（舍入导致1.14丢失），\(1.14+(1e18-1e18)=1.14\)
无穷运算规则：+∞ + (+∞) = +∞，+∞ + (-∞) = NaN，+∞ × 0 = NaN
NaN的传播特性：任何包含NaN的运算结果都是NaN
5.C中浮点数与有符号数的转换
\(int\)转\(float\)可能被舍入
\(double\)转\(int,float\)可能会溢出或者被舍入
\(float,double\)转\(int\)值会向零舍入，若溢出则产生整数不确定值\((100..00)_2\) 即\(-2^{w-1}\)
