圆锥曲线的离心率1

Problem

已知双曲线 $ E: \frac{ x^2 }{ a^2 } - \frac{ y^2 }{ b^2 }=1 \hspace{0.1cm} (a>0 , b>0)$ 的左、右焦点分别为 $ F_1,F_2 $ ， 过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点 $ A $ ，若三角形 $ AF_1F_2 $ 的内切圆半径为 $ \frac{b}{3} $ ，求双曲线的离心率。

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准备工作

先证明一个结论，双曲线的焦点三角形的内切圆圆心在直线 $ x=a $ 或 $ x=-a $ 上。

以下图为例，由切线长定理， $ AT_1 = AT_2$

$ \therefore F_1T_1-F_2T_2=AF_1-AF_2 =2a $

而 $ F_1T_3=F_1T_1 , F_2T_3=F_2T_2 $

$ \therefore F_1F_2=F_1T_1+F_2T_2 =2a+2F_2T_2 =2a+2F_2T_3$

$ \therefore F_2T_3 = a-c ,BT_3\perp F_1F_2 $

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Solution

设双曲线左、右顶点分别为 $ A_1,A_2$ ，不失一般性，设点 $ A $ 在第一象限，研究三角形 $ AF_1F_2 $ ，设其内切圆圆心为 $ P $ ，连接 $ PF_2 $ ，则 $ P F_2 \perp A_2 F_2 $ ，如图所示。

单独研究三角形 $ PA_2F_2 $，设 $\angle PF_2A_2 = \beta $ ，则 $ 2\beta =\angle AF_2 A_2 $ ，有

\[\tan \beta =\frac{b}{3} \frac{1}{c-a} \\ 而 \tan 2\beta = \tan \angle AF_2 A_2 = \frac{b}{a} \\\]

\[\begin {aligned}\therefore \frac{2\tan \beta}{1-\tan^2 \beta} &= \frac{b}{a} \\ \frac{2a}{3(c-a)} &= 1- \frac{b^2}{9(c-a)^2} \\ 6(c-a)a &=9(c-a)^2-(c^2-a^2) \\ 6a &= 9(c-a)-(c+a) & (c>a>0) \\ 8c &= 16a \\ \frac{c}{a} &=2 \\ e &=2 \end{aligned} \]

于是，离心率 $ e=2 $ 。