误差反向传播：
输出层误差：用误差函数对输出层的求导，得到输出层误差
误差反向传播中，输出层误差的核心结论是：输出层误差向量 = 误差函数对输出层神经元输出的偏导数 × 输出层激活函数的导数。
核心逻辑拆解
- 误差函数是衡量模型预测值与真实值差异的指标，常见的有均方误差（MSE）、交叉熵误差（CEE）。
- 对输出层每个神经元的输出求偏导，得到 “原始误差信号”，反映该神经元输出对总误差的贡献。
- 乘以输出层激活函数的导数（如 Sigmoid 的 f’(x)=f (x)(1-f (x))、ReLU 的 f’(x)），是为了结合神经元的激活特性，得到最终可用于反向传播的误差项。
不同误差函数的具体形式
- 均方误差（适用于回归任务）：若输出层无激活（或激活为恒等函数），误差项 = 预测值 - 真实值。
- 交叉熵误差（适用于分类任务）：若输出层激活为 Softmax，误差项 = 预测值 - 真实值（推导后简化结果，无需额外乘激活函数导数）。
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输出层误差计算：推导步骤 + 实例
核心结论：输出层误差项（δ_L）= 误差函数对输出的偏导（∂E/∂a_L）× 激活函数导数（f’(z_L)），其中 a_L 是输出层神经元输出，z_L 是输出层神经元加权输入（z=wx+b）。
一、关键前提定义
- 单输出神经元场景（回归任务）：输出层仅 1 个神经元，真实标签为 y，预测输出为 a_L = f (z_L)，z_L = w_L・x + b_L（w_L 为输出层权重，x 为前一层输出）。
- 多输出神经元场景（分类任务）：输出层共 k 个神经元，真实标签为 one-hot 向量 y=[y₁,y₂,…,y_k]，预测输出为 a_L=[a₁,a₂,…,a_k]（a_i=f (z_i)），z_i = w_i・x + b_i。
- 激活函数：输出层常用 Sigmoid（二分类）、Softmax（多分类）、恒等函数（回归）。
二、具体推导步骤（以单输出为例，多输出可直接扩展）
1. 选择误差函数并求偏导（∂E/∂a_L）
以最常用的均方误差（MSE）为例，误差函数定义为：E = 1/2 (a_L - y)²
- 对 a_L 求偏导：∂E/∂a_L = (a_L - y)，直接反映预测值与真实值的偏差。
若用交叉熵误差（CEE，二分类）：E = -[y・ln (a_L) + (1-y)・ln (1-a_L)]
- 对 a_L 求偏导：∂E/∂a_L = (a_L - y)/(a_L (1-a_L))，后续将与 Sigmoid 导数抵消简化。
2. 计算激活函数的导数（f’(z_L)）
- Sigmoid 激活：f (z) = 1/(1+e⁻ᵢ)，导数 f’(z) = a_L・(1 - a_L)（a_L=f (z)）。
- 恒等激活（回归）：f (z)=z，导数 f’(z)=1。
- Softmax 激活（多分类）：f (z_i) = e^z_i / Σe^z_j，导数 f’(z_i) = a_i・(δ_ij - a_j)（δ_ij 为克罗内克函数，i=j 时为 1，否则为 0）。
3. 相乘得到输出层误差项（δ_L）
δ_L = ∂E/∂a_L × f’(z_L)
- MSE + 恒等激活：δ_L = (a_L - y) × 1 = a_L - y（最简洁形式）。
- 交叉熵 + Sigmoid：δ_L = [(a_L - y)/(a_L (1-a_L))] × [a_L (1-a_L)] = a_L - y（抵消后简化）。
- 交叉熵 + Softmax（多分类）：δ_i = a_i - y_i（推导后直接简化，无需额外乘导数）。
三、实例演示（MSE + 恒等激活，回归任务）
假设：真实标签 y=5，输出层加权输入 z_L=4.8，恒等激活 a_L=z_L=4.8。
- 计算∂E/∂a_L：(4.8 - 5) = -0.2。
- 激活函数导数 f’(z_L)=1。
- 输出层误差 δ_L = -0.2 × 1 = -0.2，该值将用于反向计算隐藏层误差及权重更新。
