问题引入
如何求 \(\dfrac{a}{b}\)？小学数学告诉我们，\(\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}\)。
那么若 \(a, b, p \in \mathrm{\mathbf{Z}}\)，如何求 \(\dfrac{a}{b} \bmod \ p\)，并且 \(a\) 和 \(b\) 都是八常大数？就像刚才我们把 \(a\) 乘上 \(b\) 的倒数一样，这里我们也需要用到 \(b\) 的“倒数”，不过是 \(\bmod \ p\) 意义上的倒数，我们称之为 “乘法逆元”。
定义与性质
如果有 \(ax \equiv 1 \pmod p\)，我们就称 \(x\) 是 \(a\) 在 \(\bmod \ p\) 意义下的乘法逆元。
既然说乘法逆元是一种“倒数”，自然拥有以下性质：
记 \(x\) 是 \(a\) 在 \(\bmod \ p\) 意义下的乘法逆元，则有
\[\frac{a}{b} \bmod \ p = ax \bmod \ p = (a \bmod \ p) (x \bmod \ p)
\]
求法
求单个数的逆元：扩展欧几里得定理
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {if (!b) x = 1, y = 0, return;else exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
得到的 \(x\) 就是 \(a\) 在模 \(b\) 意义下的乘法逆元。注意：我们求得的 \(x\) 可能不是最小的解，为了使解最小，可以对 \(b\) 取模。
求从 \(1\) 到 \(n\) 每个数的逆元
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
}
扩展应用：组合数取模
考虑组合数公式 \(C_n^m = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)。\(n! \bmod \ p\) 很好说，但是如何计算阶乘倒数取模？
有以下公式：
\[\mathrm{invfac}(x) = \mathrm{invfac}(x-1) \times x ^ {p - 2}
\]
其中 \(\mathrm{invfac}(x)\) 指 \(x\) 的阶乘逆元。
因此大数组合数取模代码如下：
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i <= x; i++) {fact[i] = fact[i-1] * i % MOD;infact[i] = infact[i-1] * quickPow(i, MOD-2) % MOD;
}
ll getC(int a, int b) {return fact[a] * infact[a-b] % MOD * infact[b] % MOD;
}
