人工智能十大数学知识 - 图论

图论（Graph Theory）在人工智能中的核心应用

图论是描述“对象关联关系”的数学工具，通过顶点（实体） 和边（关系） 构建离散结构，是AI处理非欧几里得数据（如社交网络、知识图谱、分子结构）的核心基础，也是图神经网络（GNN）、推荐系统等模型的底层框架。

1. 图的基本定义与表示（Graph Definition & Representation）

1.1 图的核心概念与分类

图的通用定义

• 公式：
  无向图 \(G = (V, E)\)，有向图 \(D = (V, A)\)
  各组件含义：
  • \(V = \{v_1, v_2, ..., v_n\}\)：顶点集（\(n = |V|\) 为顶点数，AI中对应“实体”，如用户、单词、分子原子）；
  • \(E = \{e_1, e_2, ..., e_m\}\)：无向边集（边无方向，\(e = (u, v)\) 表示 \(u\) 与 \(v\) 关联，如社交网络“好友关系”）；
  • \(A = \{a_1, a_2, ..., a_m\}\)：有向边集（边有方向，\(a = <u, v>\) 表示从 \(u\) 指向 \(v\)，如网页“超链接”、因果关系）。

常见图的分类

分类维度	类型	核心特征	AI应用场景示例
边的方向	无向图	\((u, v) = (v, u)\)，边无方向	图像像素相邻关系、社交好友关系
	有向图	\(<u, v> \neq <v, u>\)，边有方向	网页超链接、食物链、任务依赖关系
边的权重	无权图	边无权重（默认权重为1）	简单好友关系、无权重的知识图谱关系
	加权图	边关联权重 \(w(e) \in \mathbb{R}\)，记为 \(G = (V, E, W)\)（\(W\) 为权重矩阵）	用户互动频率（权重=互动次数）、词相似度
特殊结构	有向无环图（DAG）	无循环的有向图	神经网络计算图、任务调度依赖
	二分图	\(V = V_1 \cup V_2\)（\(V_1 \cap V_2 = \emptyset\)），边仅存在于 \(V_1-V_2\) 间	用户-物品推荐系统、学生-课程分配
	完全图	任意两顶点间均有边（无向完全图边数 \(m = \frac{n(n-1)}{2}\)）	全连接神经网络层内连接、全连通传感器网络

1.2 图的表示方法（AI核心操作）

1. 邻接矩阵（Adjacency Matrix）

• 公式：设图 \(G = (V, E)\) 有 \(n\) 个顶点，邻接矩阵 \(A \in \{0, 1\}^{n \times n}\)（无权图）定义为：

  \[A_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{若 } (v_i, v_j) \in E \text{（无向图）或 } <v_i, v_j> \in A \text{（有向图）} \\ 0, & \text{否则} \end{cases}\]

  加权图的邻接矩阵：\(A_{ij} = w(v_i, v_j)\)（无关联时为0，非负权场景）或 \(\infty\)（最短路径场景）。

• 核心特性：

  • 无向图的邻接矩阵对称（\(A^T = A\)），有向图不一定；
  • 空间复杂度 \(O(n^2)\)，适合稠密图（边数 \(m \approx n^2\)）。

• AI应用：

  • 图神经网络（GNN）核心输入：如 GCN 的层间传播公式 \(H^{(l+1)} = \sigma(\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}H^{(l)}W^{(l)})\)，\(\tilde{A}\) 为带自环的邻接矩阵；
  • 小规模图的快速运算：如邻接矩阵乘法可计算“两跳邻居”（\(A^2_{ij}\) 表示 \(v_i\) 到 \(v_j\) 的两跳路径数）。

2. 度与度矩阵（Degree & Degree Matrix）

• 节点度：

  • 无向图：节点 \(v_i\) 的度 \(d_i = \sum_{j=1}^n A_{ij}\)（关联边数）；
  • 有向图：入度 \(d_i^- = \sum_{j=1}^n A_{ji}\)（指向 \(v_i\) 的边数），出度 \(d_i^+ = \sum_{j=1}^n A_{ij}\)（从 \(v_i\) 出发的边数）。

• 度矩阵：对角矩阵 \(D \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，公式：
  \(D = \text{diag}(d_1, d_2, ..., d_n)\)（仅对角元素为节点度，其余为0）。

• AI应用：

  • GNN中的特征归一化：如 GCN 用 \(\tilde{D}^{-1/2}\) 平衡不同度数节点的特征贡献，避免高度数节点主导聚合结果；
  • 节点重要性初判：社交网络中高度数节点可能是“意见领袖”，优先分析其传播影响力。

3. 邻接表（Adjacency List）

• 定义：用“数组+链表”存储，数组 \(adj\) 索引对应顶点，链表存储该顶点的邻接顶点：

  • 无向图：\(adj[v_i] = [v_j \mid (v_i, v_j) \in E]\)；
  • 加权图：\(adj[v_i] = [(v_j, w_{ij}) \mid (v_i, v_j) \in E]\)（同时存储邻接顶点及边权重）。

• 核心特性：

  • 空间复杂度 \(O(n + m)\)，适合稀疏图（AI中大规模图多为稀疏图，如社交网络 \(m \ll n^2\)）；
  • 高效遍历：遍历某顶点的所有邻居仅需访问对应链表，无需遍历整行矩阵。

• AI应用：

  • 大规模图的遍历算法：如 BFS、DFS 对社交网络（\(n\) 百万级）的高效节点访问；
  • 推荐系统存储：用户-物品二分图用邻接表存储“用户购买的物品”或“物品被购买的用户”，节省内存。

2. 图的基本性质与定理（Graph Properties & Theorems）

2.1 顶点度数与握手定理

握手定理（Handshaking Lemma）

• 无向图定理：所有顶点的度数和等于边数的2倍，公式：
  \(\sum_{v \in V} d(v) = 2m\)
  （每边贡献2个度数，分别属于两个顶点）。

• 有向图推论：所有顶点的入度和等于出度和，且等于边数，公式：
  \(\sum_{v \in V} d^-(v) = \sum_{v \in V} d^+(v) = m\)。

• AI应用：

  • 图数据校验：如社交网络数据中，若度数和为奇数，说明数据存在统计错误（如漏记/多记边）；
  • 异常节点检测：度数远高于均值的节点可能是“超级节点”（如机器人账号），度数为0的节点是孤立节点（可剔除以简化模型）。

2.2 路径、回路与连通性

核心概念定义

• 路径：顶点序列 \(v_1 \to v_2 \to ... \to v_k\)，相邻顶点间有边，长度为 \(k-1\)（边数）；
  简单路径：顶点不重复的路径（如 \(v_1 \to v_2 \to v_3\)）。

• 回路：起点=终点的路径（如 \(v_1 \to v_2 \to v_1\)）；
  简单回路：除起点/终点外顶点不重复的回路。

• 连通性：

  • 无向图：任意两顶点间有路径则为连通图，否则为非连通图，其极大连通子图称为连通分量；
  • 有向图：任意两顶点间有双向路径则为强连通图，忽略边方向后连通则为弱连通图。

• AI应用：

  • 社区发现：社交网络中，连通分量对应“用户社群”，强连通分量对应“核心互动群体”；
  • 知识图谱补全：实体间的路径长度可衡量语义关联强度（短路径关联更紧密）。

2.3 二分图判定定理

• 定理：一个无向图是二分图，当且仅当它不包含长度为奇数的回路（奇环）。

• 判定方法：染色法（用两种颜色标记顶点，相邻顶点颜色不同，无冲突则为二分图）。

• AI应用：

  • 用户-物品推荐：将“用户-物品”建模为二分图，保证无“用户-用户”或“物品-物品”直接边，简化推荐算法（如基于二分图匹配的协同过滤）；
  • 图像标注：将“图像区域-标签”建模为二分图，通过二分图匹配优化标签分配（避免同一区域被标注多个冲突标签）。

2.4 DAG的拓扑排序定理

• 定理：一个有向图存在拓扑排序，当且仅当它是有向无环图（DAG）。

• 拓扑排序：顶点的线性序列 \(v_1, v_2, ..., v_n\)，对任意边 \(<v_i, v_j>\)，\(v_i\) 在序列中早于 \(v_j\)（满足“先后依赖”）。

• AI应用：

  • 深度学习框架计算：TensorFlow/PyTorch 将模型计算流程建模为DAG，拓扑排序确定算子执行顺序（避免依赖错误）；
  • 任务调度：AI workflow 中，基于拓扑排序规划“数据预处理→模型训练→结果评估”的执行顺序。

2.5 其他关键定理

定理名称	核心结论	AI应用场景
哈密顿回路定理	判断图是否存在“包含所有顶点的回路”是NP完全问题，需近似求解	旅行商问题（TSP）路径优化、物流配送路线规划
四色定理	任何平面图可用最多4种颜色着色，使相邻顶点颜色不同	地图区域着色、芯片设计中的寄存器分配
聚类系数定理	聚类系数 \(C = \frac{3 \times \text{三角形数量}}{\text{连通三元组数量}}\)，衡量图的聚集程度	社交网络社群紧密性分析、蛋白质相互作用网络模块识别

3. 图的核心算法（Core Graph Algorithms）

3.1 图的遍历算法

1. 广度优先搜索（BFS）

• 核心思想：按“层次”遍历图，先访问起点的所有邻居，再访问邻居的邻居（保证无权图最短路径）。
• 算法步骤：
  1. 初始化：队列 \(Q = [v_0]\)，访问标记 \(\text{visited} = \{v_0\}\)；
  2. 循环：出队顶点 \(v\)，遍历其未访问的邻居 \(u\)，标记 \(\text{visited}\) 并入队；
  3. 终止：队列为空，遍历完成。
• 时间复杂度：\(O(n + m)\)（每个顶点和边各访问一次）。
• AI应用：
  • 无权图最短路径：如社交网络中“用户A到用户B的最短好友链”；
  • 图的连通分量检测：遍历过程中未访问的顶点对应新连通分量。

2. 深度优先搜索（DFS）

• 核心思想：“深度优先”探索，尽可能沿一条路径遍历至终点，再回溯探索其他分支。
• 算法实现：递归或栈（避免递归栈溢出）。
• 时间复杂度：\(O(n + m)\)。
• AI应用：
  • 拓扑排序（针对DAG）：DFS后按顶点完成时间逆序排列，得到拓扑序列；
  • 强连通分量检测（Tarjan算法、Kosaraju算法）：如网页链接图中识别相互引用的网页集群。

3.2 最短路径算法

1. Dijkstra算法（单源最短路径，无负权边）

• 核心思想：贪心策略，从起点出发，每次选择“当前距离最短的未访问顶点”，更新其邻接顶点的距离。
• 关键步骤：
  1. 初始化：距离数组 \(\text{dist}[v] = \infty\)，\(\text{dist}[s] = 0\)（\(s\) 为起点），优先队列 \(Q\) 存入所有顶点；
  2. 循环：出队距离最小的顶点 \(u\)，对每个邻居 \(v\) 执行松弛操作：\(\text{dist}[v] = \min(\text{dist}[v], \text{dist}[u] + w(u,v))\)；
  3. 终止：队列为空，\(\text{dist}[v]\) 即为 \(s\) 到 \(v\) 的最短距离。
• 时间复杂度：\(O(m \log n)\)（使用优先队列）。
• AI应用：
  • 自动驾驶导航：道路网络建模为加权图（权重=距离/时间），计算起点到终点的最短路径；
  • 知识图谱推理：计算实体间的最短语义路径（如“李白→唐诗→杜甫”），衡量关联强度。

2. Floyd-Warshall算法（多源最短路径，支持负权边无负环）

• 核心思想：动态规划，通过“中间顶点”迭代更新任意两点间的最短距离，公式：
  \(D_{ij}^{(k)} = \min(D_{ij}^{(k-1)}, D_{ik}^{(k-1)} + D_{kj}^{(k-1)})\)
  其中 \(D_{ij}^{(k)}\) 表示“经过顶点编号≤k”时，\(v_i\) 到 \(v_j\) 的最短距离。
• 时间复杂度：\(O(n^3)\)（适合小规模图，\(n < 1000\)）。
• AI应用：
  • 小规模网络多节点路径规划：如局域网内设备间的通信路径优化；
  • 图数据相似度计算：任意两点的最短距离可作为相似度指标（距离越短相似度越高）。

3.3 最小生成树（MST）算法

定义

最小生成树是“包含所有顶点、无回路、边权重和最小”的子图（边数 \(n-1\)），用于“最小成本连接所有节点”。

1. Kruskal算法（按边排序，贪心）

• 核心思想：将所有边按权重从小到大排序，依次选边加入MST，若选边形成回路则跳过（用并查集判断回路）。
• 时间复杂度：\(O(m \log m)\)（边排序主导）。

2. Prim算法（按顶点扩展，贪心）

• 核心思想：从任意顶点出发，每次选择“连接已选顶点集与未选顶点集的最小权重边”，加入MST，直至包含所有顶点。

• 时间复杂度：\(O(m \log n)\)（使用优先队列）。

• AI应用：

  • 传感器网络部署：用MST连接所有传感器，最小化布线成本；
  • 图像分割：将像素视为顶点，边权重=像素相似度，MST的“最大边切割”对应分割边界（分离不同物体）。

3.4 二分图匹配算法（匈牙利算法）

核心概念

• 匹配：二分图中无公共顶点的边集；
• 最大匹配：边数最多的匹配；
• 完美匹配：匹配边数 = \(|V_1| = |V_2|\)（所有顶点均被匹配）。

匈牙利算法（寻找最大匹配）

• 核心思想：通过“增广路径”迭代扩展匹配集——增广路径是“从非匹配顶点出发，交替经过非匹配边和匹配边的路径”，翻转路径中边的匹配状态（非匹配→匹配，匹配→非匹配），可使匹配边数+1。

• 时间复杂度：\(O(nm)\)（\(n\) 为顶点数，\(m\) 为边数）。

• AI应用：

  • 推荐系统：用户-物品二分图的最大匹配，最大化“用户-物品”匹配数（提升推荐覆盖率）；
  • 人才-岗位匹配：基于“技能匹配度”（边权重）的加权二分图匹配，优化人才资源分配。

3.5 节点重要性算法（PageRank & Node2Vec）

1. PageRank算法（网页/节点重要性）

• 迭代公式：
  \(PR(p) = \frac{1-d}{n} + d \sum_{q \in \text{In}(p)} \frac{PR(q)}{\text{Out}(q)}\)
  各参数含义：
  • \(PR(p)\)：节点 \(p\) 的PageRank值（重要性）；
  • \(d\)：阻尼因子（通常取0.85，模拟“随机跳转”，避免无出度节点问题）；
  • \(\text{In}(p)\)：指向 \(p\) 的节点集合；
  • \(\text{Out}(q)\)：节点 \(q\) 的出边数。
• AI应用：
  • 搜索引擎排序：网页重要性计算（高PR值网页排名靠前）；
  • 社交网络核心节点识别：高PR值用户是“关键传播者”（如病毒式营销的目标用户）。

2. Node2Vec算法（图嵌入）

• 核心思想：通过可控随机游走生成节点序列（参数 \(p\) 控制“回溯倾向”，\(q\) 控制“探索倾向”），再用Word2Vec学习低维嵌入（保留图结构信息）。
• 目标函数：
  \(\max_f \sum_{u \in V} \log P(\text{N}_S(u) \mid f(u))\)
  其中 \(\text{N}_S(u)\) 是节点 \(u\) 的随机游走邻居集，\(f(u)\) 是 \(u\) 的嵌入向量。
• AI应用：
  • 节点分类：将嵌入向量输入分类器（如SVM），实现社交网络用户标签预测；
  • 链路预测：计算节点嵌入的相似度（如余弦相似度），预测未连接的边（如知识图谱补全）。

4. 图的中心性与谱分析（Centrality & Spectral Analysis）

4.1 中心性指标（衡量节点重要性）

中心性类型	公式（无向图）	核心含义	AI应用场景
度中心性	\(C_d(v) = \frac{d(v)}{n-1}\)（归一化，最大度数为 \(n-1\)）	节点的直接关联度（邻居数量）	社交网络“粉丝数”排名、知识图谱核心实体初筛
介数中心性	\(C_b(v) = \sum_{s \neq v \neq t} \frac{\sigma_{st}(v)}{\sigma_{st}}\)（\(\sigma_{st}\)为\(s-t\)最短路径总数，\(\sigma_{st}(v)\)为经过\(v\)的路径数）	节点在“信息传递”中的中介作用（位于多对节点的最短路径上）	传播路径关键节点识别（如谣言传播的阻断节点）
特征向量中心性	\(A \boldsymbol{c} = \lambda_{\text{max}} \boldsymbol{c}\)（\(\boldsymbol{c}\)为特征向量，\(\lambda_{\text{max}}\)为\(A\)的最大特征值）	节点重要性由“邻居重要性”决定（与重要节点相连的节点更重要）	PageRank算法基础、学术论文影响力评估（被高影响力论文引用）
closeness中心性	\(C_c(v) = \frac{n-1}{\sum_{u \neq v} \text{dist}(v, u)}\)（\(\text{dist}(v,u)\)为\(v-u\)最短距离）	节点到其他所有节点的“平均距离”（距离越短，中心性越高）	应急节点选址（如医院、消防站需快速到达所有区域）

4.2 图的拉普拉斯矩阵（谱图理论核心）

1. 普通拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）

• 公式：\(L = D - A\)（\(D\) 为度矩阵，\(A\) 为邻接矩阵）。
• 核心性质：
  • 对称半正定矩阵（所有特征值 \(\lambda_i \geq 0\)）；
  • 最小特征值 \(\lambda_0 = 0\)，对应特征向量为全1向量（\(\boldsymbol{1}^T L = \boldsymbol{0}\)）；
  • 特征值个数 = 顶点数 \(n\)，排序 \(\lambda_0 \leq \lambda_1 \leq ... \leq \lambda_{n-1}\)。

2. 归一化拉普拉斯矩阵（Normalized Laplacian）

• 两种常用形式：

  1. 对称归一化：\(L_{\text{sym}} = D^{-1/2} L D^{-1/2} = I - D^{-1/2} A D^{-1/2}\)（GCN核心矩阵）；
  2. 随机游走归一化：\(L_{\text{rw}} = D^{-1} L = I - D^{-1} A\)（随机游走相关任务）。

• AI应用：

  • 图卷积网络（GCN）：\(L_{\text{sym}}\) 实现邻域特征的“平滑聚合”，避免高度数节点特征被过度稀释；
  • 谱聚类：对 \(L\) 做特征分解，取前 \(k\) 个最小特征值对应的特征向量聚类（利用谱特性保留全局结构，优于传统K-Means）；
  • 图平滑性衡量：\(X^T L X = \frac{1}{2} \sum_{(u,v) \in E} (x_u - x_v)^2\)（值越小，相邻节点特征越相似，图信号越平滑）。

4.3 图傅里叶变换（Graph Signal Processing）

• 定义：类比传统信号处理，将图信号（如节点特征 \(X\)）从“空域”转换到“频域”，公式：
  正变换（空域→频域）：\(\hat{X}(\lambda_l) = \boldsymbol{u}_l^T X\)（\(\boldsymbol{u}_l\) 是 \(L\) 的第 \(l\) 个特征向量，\(\lambda_l\) 为对应特征值）；
  逆变换（频域→空域）：\(X = \sum_{l=0}^{n-1} \hat{X}(\lambda_l) \boldsymbol{u}_l\)。
• 核心解读：
  • 低特征值 \(\lambda_l\) 对应“低频信号”（图信号平滑变化，反映全局趋势）；
  • 高特征值 \(\lambda_l\) 对应“高频信号”（图信号局部波动，反映异常点或细节）。
• AI应用：
  • 图信号去噪：过滤高频分量，保留低频平滑信号（如传感器网络数据去噪）；
  • 图卷积定义：频域卷积 = 信号频域值 × 滤波器频域值（GCN的频域解释）。

5. 图表示学习与神经网络（Graph Representation Learning & GNN）

5.1 图嵌入（Graph Embedding）

将图节点/边映射到低维向量空间，保留图结构和语义信息，是GNN的前置基础。

嵌入方法	核心思想	AI应用场景
DeepWalk	随机游走生成节点序列，用Word2Vec学习嵌入（保留局部结构）	社交网络节点分类、链路预测
Node2Vec	可控随机游走（参数 \(p/q\) 平衡BFS/DFS），兼顾局部和全局结构	知识图谱实体嵌入、分子结构表示
谱聚类嵌入	拉普拉斯矩阵特征分解，取前 \(k\) 个特征向量作为嵌入（保留全局结构）	非球形数据聚类（如用户行为聚类）
TransE（知识图谱）	将实体和关系映射到向量，满足 \(h + r = t\)（\(h\) 头实体，\(r\) 关系，\(t\) 尾实体）	知识图谱补全、语义问答系统

5.2 图神经网络（GNN）

通过“消息传递”聚合邻居特征，处理图结构数据，是当前AI图任务的核心模型。

1. 图卷积网络（GCN）

• 层间传播公式：
  \(H^{(l+1)} = \sigma\left(\tilde{D}^{-1/2} \tilde{A} \tilde{D}^{-1/2} H^{(l)} W^{(l)}\right)\)
  各组件含义：
  • \(\tilde{A} = A + I\)：带自环的邻接矩阵（保留节点自身特征）；
  • \(\tilde{D}\)：\(\tilde{A}\) 对应的度矩阵；
  • \(H^{(l)}\)：第 \(l\) 层节点特征矩阵；
  • \(W^{(l)}\)：可学习权重矩阵；
  • \(\sigma\)：激活函数（如ReLU）。
• AI应用：
  • 分子结构预测：将原子视为节点，化学键视为边，预测分子活性（如药物研发）；
  • 知识图谱分类：对实体特征进行卷积聚合，实现实体类型预测。

2. 图注意力网络（GAT）

• 核心改进：引入注意力机制，为不同邻居分配不同权重（解决GCN“平等对待所有邻居”的缺陷）。
• 注意力系数计算：
  1. 特征线性变换：\(h_i' = W h_i\)（\(W\) 为共享权重）；
  2. 注意力分数：\(e_{ij} = a(W h_i, W h_j)\)（\(a\) 为注意力函数，如多层感知机）；
  3. 归一化：\(\alpha_{ij} = \frac{\exp(\text{LeakyReLU}(e_{ij}))}{\sum_{k \in \mathcal{N}(i)} \exp(\text{LeakyReLU}(e_{ik}))}\)（\(\mathcal{N}(i)\) 为 \(i\) 的邻居集）；
  4. 特征聚合：\(h_i^{(l+1)} = \sigma\left(\sum_{j \in \mathcal{N}(i)} \alpha_{ij} W h_j^{(l)}\right)\)。
• AI应用：
  • 社交网络分析：对“亲密好友”分配高注意力权重，提升用户行为预测精度；
  • 图像分割：对“语义相似的邻域像素”分配高权重，优化分割边界。

3. 图自编码器（GAE）

• 核心结构：
  • 编码器：用GCN将节点特征映射为低维嵌入 \(Z = \text{GCN}(X, A)\)；
  • 解码器：通过内积重构邻接矩阵 \(\hat{A} = \sigma(Z Z^T)\)（预测节点间是否存在边）。
• AI应用：
  • 无监督图嵌入：无需标签，通过重构邻接矩阵学习节点嵌入；
  • 链路预测：知识图谱补全（预测实体间缺失的关系）、社交网络好友推荐。

6. 图生成模型（Graph Generation Models）

生成符合特定结构的图，用于模拟真实网络或创造新结构（如药物分子、社交网络）。

生成模型	核心思想	AI应用场景
Erdős-Rényi模型	\(G(n, p)\)：每对顶点以概率 \(p\) 随机连接，度分布近似泊松分布	随机网络模拟、基准测试数据集生成
Watts-Strogatz模型	从完全图开始，随机重连部分边，生成“短平均路径+高聚类系数”的小世界网络	社交网络模拟、传染病传播建模
Barabási-Albert模型	偏好连接（新节点优先连接高度数节点），度分布服从幂律（无标度网络）	互联网拓扑模拟、 citation网络生成
图生成对抗网络（GGAN）	生成器生成图结构，判别器区分“真实图”与“生成图”，对抗训练优化生成质量	药物分子生成（设计新活性分子）、场景图生成

7. AI中的典型应用总结（Typical AI Applications）

7.1 自然语言处理（NLP）

• 语义网络：将单词/短语视为顶点，语义关系（同义、上下位）视为边（如WordNet），用于词义消歧、文本理解；
• 文本摘要：将句子视为顶点，句子相似度视为边，通过连通分量提取核心句子（如新闻摘要）；
• 知识图谱问答：将知识图谱建模为图，通过最短路径或GNN聚合实体特征，生成问答结果（如“李白的代表作是什么”）。

7.2 计算机视觉（CV）

• 图像分割：像素视为顶点，像素相似度视为边，用谱聚类或GNN实现语义分割（如区分“车、人、道路”）；
• 目标检测：图像区域视为顶点，区域关联（如“人-车”相邻）视为边，通过图推理优化检测框位置；
• 视觉SLAM：环境特征点视为顶点，特征点间空间关系视为边，构建环境图用于机器人定位导航。

7.3 社交网络分析

• 社区发现：用谱聚类或Louvain算法（最大化模块度）识别用户社群，用于精准营销；
• 影响力分析：基于PageRank或介数中心性，识别“关键传播节点”，用于病毒式营销或谣言阻断；
• 异常检测：通过度数分布异常（如超级节点）或路径长度异常，识别虚假账号、垃圾邮件发送者。

7.4 其他领域

• 药物研发：分子结构建模为图（原子=顶点，化学键=边），用GCN预测分子活性，设计新药物；
• 推荐系统：用户-物品建模为二分图，通过二分图匹配或Node2Vec嵌入，推荐相似物品/用户；
• 物流优化：城市/仓库视为顶点，运输路线视为边（权重=成本），用MST或最短路径算法优化配送路线。

附录：图论核心符号总结（读音+使用场景）

符号	写法规范	读音	核心使用场景
\(G\)	大写G	“G”	图的总称（如无向图 \(G=(V,E)\)，有向图 \(D=(V,A)\)）
\(V\)	大写V	“V”	顶点集（存储图中的实体，如用户、单词）
\(E\)	大写E	“E”	无向边集（存储无向关系，如好友关系）
\(A\)	大写A	“A”	1. 有向边集；2. 邻接矩阵（描述节点连接关系，GNN核心输入）
\(D\)	大写D	“D”	度矩阵（对角矩阵，存储节点度数，用于GNN特征归一化）
\(L\)	大写L	“L”	拉普拉斯矩阵（\(L=D-A\)，谱图理论和GCN的核心矩阵）
\(L_{\text{sym}}\)	大写L+下标sym	“L sym”	对称归一化拉普拉斯矩阵（GCN的核心卷积矩阵）
\(d(v)\)	小写d+顶点v	“d of v”	节点 \(v\) 的度数（无向图），衡量节点直接关联数
\(d^-(v)/d^+(v)\)	小写d±+顶点v	“d minus/plus of v”	节点 \(v\) 的入度/出度（有向图），如网页的入链/出链数
\(PR(p)\)	大写PR+节点p	“P R of p”	节点 \(p\) 的PageRank值，衡量节点重要性（搜索引擎排序核心）
\(\lambda_{\text{max}}\)	小写lambda+下标max	“lambda max”	邻接矩阵/拉普拉斯矩阵的最大特征值，用于特征向量中心性和谱分析
\(h_i\)	小写h+节点i	“h of i”	节点 \(i\) 的特征向量（GNN中存储节点的属性信息，如用户年龄、单词嵌入）
\(H^{(l)}\)	大写H+上标l	“H superscript l”	第 \(l\) 层节点特征矩阵（GNN中层间传播的特征载体）
\(W^{(l)}\)	大写W+上标l	“W superscript l”	GNN第 \(l\) 层的可学习权重矩阵（用于特征线性变换）
\(\alpha_{ij}\)	小写alpha+下标ij	“alpha i j”	GAT中的注意力系数，表示节点 \(j\) 对节点 \(i\) 的贡献权重
\(w(u,v)\)	小写w+括号u,v	“w of u v”	边 \((u,v)\) 的权重（如用户互动频率、路径长度）
\(\text{dist}(u,v)\)	英文dist+括号u,v	“dist of u v”	节点 \(u\) 到 \(v\) 的最短距离（最短路径算法的核心输出）