Problem
现有一个1到n的排列，$ a_1,a_2,...,a_n $。记 $ X $ 为满足 $ a_i = i $ 的 $ i $ 的个数，求 $ E(X) $ 。
准备工作
设随机变量 $ X,Y $ ， $ X \in \{ x_1,x_2,...,x_n \} $ ， $ Y \in \{ y_1,y_2,...,y_m \}$ 。
分布列 $ P(X=x_i) = p_i $ ，$ P(Y=y_i) = q_i $ ，则
\[\sum _{i=1} ^ {n} p_i =1\hspace{0.4cm}\sum _{i=1} ^ {m} q_i =1\\E(X) = \sum _{i=1} ^ {n} p_i · x_i \hspace{0.4cm}E(Y) = \sum _{i=1} ^ {m} q_i · y_i
\]
于是
\[
\begin{aligned}E(X+Y) &=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} [ p_i · q_j ( x_i + y_j ) ]
\\
&= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} (p_i · q_j · y_j)
+ \sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} (q_j · p_i · x_i)
\\&= \sum_{i=1}^{n} [ p_i · E(Y) ] + \sum_{j=1}^{m} [ q_j · E(X)]
\\&= E(X) + E(Y)\end{aligned}
\]
Solution
设示性函数 $ I_A(i) $，满足：
\[I_A(i) =\begin{cases}1 & a_i=i \\0 & \text{otherwise} \end{cases}
\]
则
\[E( I_A(i) ) = \frac{1}{n} \\ \begin{aligned}E(X) &= E( \sum_{i=1}^{n} I_A(i) ) \\ &= \sum_{i=1}^{n} E( I_A(i) ) = 1\end{aligned}
\]
