1027 题解

公约数神庙

首先进行一些特判：

定义所有包含质因子 \(p\) 的所有 \(a[i]\) 是 \(p\) 类神庙，记录：

回答询问 \((x, y)\) 时，枚举 \(a[y]\) 的所有质因子 \(p\)，检查是否满足：

预处理 \(1000\) 内的质数（168个），以及每个 \(a[i]\) 的质因子，递推 \(go[i][p]\) 时只在自己的质因子里枚举，小于1000的数最多有4个不同质因子，复杂度是 \(O(n\times 4\times 200 + q\times 4)\)。

栈法杖的数量是 1 或者 2。

\(k=1\) 的情况平凡，不赘述。

对于 \(k=2\) 的情况，做法很多，其中之一是：把弹出的数都放入栈法杖 A 中，栈法杖 B 仅作为中转，设下一个要输出的数为 \(x\)：

若 \(x\) 还在序列 \(a\) 中，则一直进行 \((1, 1)\) 操作直到 \(x\) 进入栈法杖 A，然后进行一次 \((2, 1)\) 操作将其输出；操作次数 = 当前序列 \(a\) 长度 - \(x\) 初始位置 + 1。
否则 \(x\) 在栈法杖 A 中，进行 \((3, 1, 2)\) 操作直到 \(x\) 是栈顶，进行一次 \((2, 1)\) 操作将其输出，然后进行 \((3, 2, 1)\) 操作清空栈法杖 B；操作次数 = 当前 \(A\) 栈 size - \(x\) 初始位置之后 \(<x\) 元素数量 - 1。

"\(x\) 初始位置之后 \(<x\) 元素数量" 可以使用树状数组预处理。

总复杂度 \(O(n\log n)\)。

由于 \(m\) 很小，可以状压每一列的状态（1表示要伸到后一列），状态数为 \(2^m=64\)，列和列之间的转移可以用矩阵快速幂进行优化，注意：

直接实现的话大概能跑65分。

按照网格状压DP的套路，有很多状态其实是到不了的，dfs 预处理合法且能够从 \(s=0\) 到达的状态，发现只有20个（其实是一个组合数，\(m\) 列恰有 \(\binom{m}{m/2}\) 个合法状态）。

复杂度变为 \(O(20^3\times len)\)，这样就能通过了。

以下简称原题中注入生命露滴为染色

对于一个点 \(u\)，需要在一个区间 \([pre[u], nxt[u]]\) 中染色一个点，可以二分预处理出来。设 \(dp[i]\) 代表在 \(i\) 点染色、搞定前 \(i\) 个点的最小花费，枚举上一个染色位置转移：

\(dp[i]=\min(dp[j])+c[i], j<i\)
转移条件是 \((j, i)\) 中的点 \(k\) 满足 \(pre[k]\leq j\vee nxt[k]\geq i\)，即 \(j\geq \max\{pre[k], nxt[k] < i\}\)

从大->小枚举 \(j\) 就可以顺带维护出 \(\max\{pre[k], nxt[k] < i\}\) 的值，复杂度 \(O(tn^2)\)。

可以按 1 是否染色讨论。

若 1 染色，对于其他点 \(u\)，若 \(d[u] < dist(1, u)\) 则需要染色。

否则，设 \(x\) 为 \(dist(1, x)\) 最小的染色的点，那么对于其他点 \(u\)，若 \(d[u] < dist(1, x) + dist(1, u)\) 则需要染色。

枚举 \(x\) 然后两种情况取最优即可，复杂度 \(O(tn^2)\)。

树形DP，设 \(dp[u][0/1/2]\) 代表搞定 \(u\) 子树，根的状态为 \(0, 1, 2\) 时的最小花费：

转移：

\(dp[u][0]=\sum \min (dp[v][1], dp[v][2])\)
\(dp[u][1]=\sum \min (dp[v][1], dp[v][2]) + \max (0, \min (dp[v][2]-dp[v][1]))\)
\(dp[u][2]=\sum \min (dp[v][0], dp[v][1], dp[v][2])+c[u]\)

答案为 \(\min (d p[1][1], d p[1][2])\)，复杂度 \(O(tn)\)。