布尔函数/密码函数

news/2025/10/25 15:47:21/文章来源:https://www.cnblogs.com/luminescence/p/19165492

布尔函数

定义

$n \in N$
由$F_2^n$到$F_2$函数称为n元布尔函数
n元布尔函数有$2^{2^n}$个，构成环
记全体集合为$B_n$

表示方法

真值表

$(x_1⋯x_n) \in F_2^n$
在$f(x_1⋯x_n)$的值列表
$f: \{0,1\}^n→\{0,1\}$
向量布尔函数 $F_2^n→F_2^m$ 结果为$(f_1⋯f_m)$

多项式表示

对于$i \in F_2$
$i = 0$时$x_j^i = 1$
$i=1$时$x_j^i=x_j$
$I=(i_1⋯i_n) \in F_2^n$
$x=(x_1,⋯x_n)$
$x^I=∏_{j=1}^n x_j^i$
n元布尔函数 $f(x_1⋯x_n)=∑_{I \in F_2^n} a_I x^I$
称为ANF 即f的代数正规型

小项表示

$(x_1+c_1+1)⋯(x_n+c_n+1)$在当$(c_1,\dots,c_n)=(x_1,\dots,x_n)$时等于1，其它情况等于0
$f(x_1⋯x_n)=∑_{c_i \in F_2^n} f(c_1⋯c_n)(x_1+c_1+1)⋯(x_n+c_n+1)$

基本概念

汉明重量、汉明距离

向量$V \in F_2^n$ 汉明重量 $W_H(V)$
n元布尔函数$f(x) : W_H(f)=|{x \in F_2^n: f(x)=1}|$
$f(x),g(x) \in B_n$ 汉明距离
$d_H(f,g)=|{x \in F_2^n: f(x)≠g(x)}| =W_H(f+g)$

代数次数

$f \in B_n$
$f$ ANF中系数非零项所含有的最多变元个数称为f的代数次数
$deg(f)=max{|I|: I \in P(N), a_I≠0}$
P(N)表示N幂集:N所有子集构成集合.
$deg(f)≤1$ 仿射函数 $c_1x_1+⋯+c_nx_n+c$
$c=0$时线性函数

支撑集、序关系

对于 $c=(c_1⋯c_n) d=(d_1⋯d_n) \in F_2^n$
$supp(c)={1≤i≤n: c_i=1}$
若 $supp(c)\subseteq supp(d)$
称 $(c_1⋯c_n)\preceq(d_1⋯d_n)$

实例分析

对于函数 $f(x_1,x_2,x_3)$
真值表表示

$x_1$	$x_2$	$x₃$	$f = x_1x_2+x_2+x_3$
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

定义域：$F_2³ = \{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)\}$
值域：$F_2 = \{0,1\}$
函数总数：$B_3$包含 $2^{2³} = 2^8 = 256$ 个不同的3元布尔函数
将上述函数表示为8维向量：
$f = (0,1,1,0,0,1,0,1)$
ANF：$f(x_1,x_1,x_3) = x_1x_2 + x_2 + x_3$
代数次数：$deg(f) = 2$
使用小项展开：
$f = x_2x_3 + x_1x_3 + x_1x_2 + x_1x_2x_3$

向量 $v = (1,0,1,1,0)$ 的汉明重量：$W_H(v) = 3$
函数 $f$ 的汉明重量：$W_H(f) = 4$（真值表中输出为1的个数）
考虑函数 $g(x_1,x_2,x_3) = x_1 + x_2 + x_3$
g的真值表向量：$(0,1,1,0,1,0,0,1)$
汉明距离：$d_H(f,g) = W_H(f+g) = 2$
向量 $(1,0,1,1,0)$ 的支撑集：$\{1,3,4\}$
序关系
考虑向量 $a = (1,0,1)，b = (1,1,1)$
$supp(a) = {1,3}，supp(b) = {1,2,3}$
因为 $\{1,3\} ⊆ \{1,2,3\}$，所以 a $\preceq$ b

Walsh谱变换

Walsh谱定义：对于n元布尔函数$f，w \in F_2^n$
$W_f(w) = \sum_{x \in F_2^n} (-1)^{f(x) + w \cdot x}$
其中内积：$w \cdot x = w_1x_1 + w_2x_2 + \cdots + w_nx_n$

与汉明重量的关系

$W_f(w) = 2^n - 2W_H(f + w \cdot x)$
$W_f(0) = 2^n - 2W_H(f)$

平衡函数判定

$W_f(0) = 0 \Leftrightarrow f(x) \text{为n元平衡布尔函数}$

正交性

$\sum_{x \in F_2^n} (-1)^{c \cdot x} = 0$ （对于$ 0 + c ∈ F_2^n$）

Walsh逆变换

重构公式：$(-1)^{f(x)} = \frac{1}{2^n} \sum_{w \in F_2^n} W_f(w)(-1)^{w \cdot x}$
Parseval等式:$\sum_{w \in F_2^n} W_f^2(w) = 2^{2n}$

蝴蝶变换

基本形式ANF表示：$f(x_1, \cdots, x_n) = \sum_{I \subseteq F_2^n} a_I x^I \quad a_I \in F_2$
系数计算：对 $∀ I ∈ F_2^n$ → $a_I = \sum_{x \in F_2^n, x \leq I} f(x)$

布尔函数重要指标

平衡性
真值表中0和1的个数相同
$|W_H(f)| = 2^{n-1}$
非线性度
f(x)与所有仿射函数距离的最小值
$nl = \min_{l \in A_n} d_H(f, l) = \min_{l \in A_n} W_H(f + l)$
其中 $A_n$ 为所有n元仿射函数集合，$l(x) = w \cdot x + c$
上界：$nl(f) \leq 2^{n-1} - 2^{\frac{n}{2}-1}$
代数免疫度
$AI(f)$
寻找满足 $f(x) \cdot g(x) = 0$ 的非零函数g(x)，取其最小次数$AI(f) = \min \deg(g(x))$