题解：CF2115F1 Gellyfish and Lycoris Radiata (Easy Version)

节选自：Codeforces Round 1028 (Div. 1)

这题非常好玩，也非常达芬，我做了 \(1\) 天半才过。

我们考虑到问题是在线，因此可以想到支持在线的操作分块（虽然我没想到），每 \(\sqrt q\) 个操作分成一个操作块。考虑到一次操作最多会使序列新增一个颜色段（颜色段内的所有集合都是一样的），因此一个操作块最多会使一个序列分成 \(\mathcal O(\sqrt q)\) 个颜色段，对于每个颜色段 \(i = [l_i, r_i]\)，我们维护一个队列 \(q_i\) 表示段内的集合，\(rev_i\) 表示该段是否翻转，\([rl_i, rr_i]\) 表示这个颜色段对应原序列中的哪一段。

此时 \(1\) 操作和 \(2\) 操作比较好维护。我们找到所有需要插入或翻转的颜色段，如果 \(r\) 正好在一个颜色段 \(i\) 中间，我们就需要将该颜色段分裂。注意此时 \([rl_i, rr_i]\) 的分裂和 \(rev_i\) 有关。假设我们要将颜色段 \(i = [6, 10]\) 在 \(7\) 处分裂，\(i\) 对应的原序列中的区间为 \([1, 5]\)。如果 \(rev_i = 0\)，那么直接将 \([1, 5]\) 分裂成 \([1, 2]\) 和 \([3, 5]\) 即可；否则就应该分裂成 \([4, 5]\) 和 \([1, 3]\)。队列 \(q_i\) 就直接复制，时间复杂度将在后文分析。

操作 \(3\) 不好维护，但是我们可以延迟删除。如果 \(x\) 小于等于当前操作数，就将 \(x\) 标记成删除。不过此时队列还需要维护一个 \(be_i\)，表示最小的没被删除的数字。由于每次被插入集合的都是当前操作编号，而编号是单增的，因此 \(be_i\) 也是最靠前的没被删除的数字。

现在来处理查询操作。对于一个位置 \(p\)，我们可以二分查找出当前操作块中包含 \(p\) 的颜色段 \(i\)，然后遍历 \(i\) 的队列 \(q_i\)，如果枚举到的数字没被删除，那么根据刚才的推导，这一定是这个队列中最小的元素，用它更新答案即可；否则就将 \(be_i\) 加 \(1\)。由于我们记录了 \([rl_i, rr_i]\)，因此我们知道 \(p\) 在经过当前操作块之前所处的位置 \(p'\)，也就是 \(p\) 在上一个操作块中所处的位置，因此我们不断往下查找即可。

现在来分析时间复杂度。先来考虑修改操作，我们发现一个操作块中最多会被插入 \(\mathcal O(\sqrt q)\) 个数字，而最多只会分裂 \(\mathcal O(\sqrt q)\) 次，每次都会将这 \(\mathcal O(\sqrt q)\) 个数字复制一遍，因此一个操作块内操作的时间复杂度是 \(\mathcal O(q)\)，这部分的总时间复杂度就是 \(\mathcal O(q \sqrt q)\)。而查询时，由于我们记录了 \(be_i\)，而 \(be_i\) 是单调不降的，因此每个颜色段只会被扫一遍，而颜色段的数量长度和是 \(\mathcal O(n \sqrt q)\) 的。加上二分查找的时间复杂度，这一部分的时间复杂度就是 \(\mathcal O(n \sqrt q \log \sqrt q)\)，总时间复杂度就是 \(\mathcal O(q \sqrt q + n \sqrt q \log \sqrt q)\)。

完整代码：

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){int x = 0; bool f(0); char ch = getchar();while(!isdigit(ch)) f = (ch == '-'), ch = getchar();while(isdigit(ch)) x = (x<<3) + (x<<1) + (ch^48), ch = getchar();return f ? -x : x;
}
inline void write(int x){if(x < 0) x = -x, putchar('-'); static short Stack[64], top(0);do Stack[++ top] = x % 10, x /= 10; while(x);while(top) putchar(Stack[top--] | 48);
}
const int N = 2e5 + 9, B = 319, INF = 1e9 + 9;
struct Segment{int l, r, rl, rr;inline bool operator < (const Segment &a) const{return l < a.l;}
} t[N];
struct Node{int pre, nex;
} e[N];
int head[N];
inline void add(int id, int x){//在 id 后面插入 xe[x].nex = e[id].nex;e[x].pre = id;e[id].nex = x;
}
inline void del(int id){e[e[id].nex].pre = e[id].pre;e[e[id].pre].nex = e[id].nex;
}
int era[N], rev[N], q[N][B], be[N], ed[N], n, qq, tot = 1, cnt, num = 1, lastans;
void split(int i, int b){tot++;for(int j = be[i]; j <= ed[i]; j++)q[tot][++ed[tot]] = q[i][j];rev[tot] = rev[i];int tmp1, tmp2, tmp3, tmp4;if(rev[i]){tmp1 = t[i].rr - (b - t[i].l + 1) + 1;tmp2 = t[i].rr;tmp3 = t[i].rl;tmp4 = t[i].rr - (b - t[i].l + 1);} else {tmp1 = t[i].rl;tmp2 = t[i].rl + (b - t[i].l + 1) - 1;tmp3 = t[i].rl + (b - t[i].l + 1);tmp4 = t[i].rr;}t[tot] = Segment{b + 1, t[i].r, tmp3, tmp4};t[i].r = b;t[i].rl = tmp1;t[i].rr = tmp2;add(i, tot);
}
int st[N][B], sum[B];
vector <int> vec;
int main(){for(int i = 1; i < N; i++)be[i] = 1;n = read();qq = read();int k = sqrt(qq), qqq = qq;t[tot]= Segment{1, n, 1, n};e[tot].pre = 0;e[0].pre = -1;e[0].nex = tot;e[tot].nex = 2 * n;e[2 * n].pre = tot;e[2 * n].nex = -1;head[1] = tot;while(qqq--){cnt++;int a, b, c;a = read();b = read();c = read();if(a == 1 || a == 2)b = (b + lastans - 1) % n + 1;elseb = (b + lastans - 1) % qq + 1;c = (c + lastans - 1) % n + 1;if(a == 1){int he = 0;for(int i = head[num]; i != 2 * n; i = e[i].nex){he += t[i].r - t[i].l + 1;if(he == b){q[i][++ed[i]] = cnt;break;}if(he > b){split(i, b);q[i][++ed[i]] = cnt;break;}q[i][++ed[i]] = cnt;}} else if(a == 2){int he = 0;vec.clear();for(int i = head[num]; i != 2 * n; i = e[i].nex){he += t[i].r - t[i].l + 1;if(he == b){vec.push_back(i);del(i);break;}if(he > b){split(i, b);vec.push_back(i);del(i);break;}vec.push_back(i);del(i);}for(int i = 0; i <= (int)vec.size() - 1; i++){int L = t[vec[i]].l, R = t[vec[i]].r;t[vec[i]].l = b - R + 1;t[vec[i]].r = b - L + 1;add(0, vec[i]);rev[vec[i]] ^= 1;}head[num] = vec[vec.size() - 1];} else if(a == 3){if(b <= cnt)era[b] = true;}sum[num] = 0;for(int i = head[num]; i != 2 * n; i = e[i].nex)st[num][++sum[num]] = i;int ans = INF;for(int i = num; i >= 1; i--){int L = 1, R = sum[i], res = 0, j;while(L <= R){int mid = (L + R) >> 1;if(t[st[i][mid]].l <= c)L = mid + 1, res = mid;elseR = mid - 1;}j = st[i][res];for(int l = be[j]; l <= ed[j]; l++){if(!era[q[j][l]]){ans = min(ans, q[j][l]);break;} elsebe[j]++;}c = t[j].rl + (c - t[j].l + 1) - 1;if(rev[j])c = t[j].rl + t[j].rr - c;}if(ans == INF)ans = 0;write(lastans = ans);putchar('\n');if(cnt % k == 0){sum[num] = 0;for(int i = head[num]; i != 2 * n; i = e[i].nex)st[num][++sum[num]] = i;num++, tot++;t[tot] = Segment{1, n, 1, n};e[tot].pre = 0;e[0].pre = -1;e[0].nex = tot;e[tot].nex = 2 * n;e[2 * n].pre = tot;e[2 * n].nex = -1;head[num] = tot;}}return 0;
}