noipd8t2 - Slayer

要理解这段代码，需结合题目要求和题解的逆变换 + 辗转相除思路，逐部分分析：

1. 题目核心与题解思路

   回顾题目要求：给定两个线性变换 \(T1((x,y))=(x+y,y)\)、\(T2((x,y))=(x,x+y)\)，对于每个查询向量 \((x,y)\)，统计有多少个给定的向量可通过若干次\(T1/T2\)变换（包括 0 次）得到。

   题解思路：正向变换可能无限多，逆变换分析更高效。
   观察到：若某一步向量的分量 \(x \leq 0\) 或 \(y \leq 0\)，后续会一直保持，而查询的 \((x,y)\) 满足 \(x,y>0\)，因此逆变换只有 “大数减小数的倍数” 这一种操作，类似欧几里得辗转相除。对每个给定向量，预处理其 “逆变换的所有中间状态”，存储后排序；查询时，对\((x,y)\)做同样的逆变换，通过二分查找统计符合条件的中间状态数量。

2. 代码结构与关键逻辑解释

   （1）数据结构与输入处理
   tri 是 std::tuple<int,int,int>，用于存储逆变换过程中的三元组（记录当前分量、余数、原分量信息）。p[0] 和 p[1] 是两个数组，分别存储 “\(a \leq b\)” 和 “\(a > b\)” 两种情况下的三元组；m[0]、m[1] 是对应数组的元素计数。处理每个给定向量 \((a,b)\) 的循环：

   
   for(int a,b,f;n--;){a=read(),b=read(),f=0;while(a&&b)if(a<=b)p[0][++m[0]]={a,b%a,b-f},b%=a,f=1;else p[1][++m[1]]={b,a%b,a-f},a%=b,f=1;
   }

   这里模拟逆变换的辗转相除过程：若 \(a \leq b\)，逆变换对应 “由 \((b, a)\) 变换到 \((a, b\%a)\)”，记录三元组 \((a, b\%a, b - f)\)（b - f 用于后续查询时判断原分量范围），然后更新 \(b = b\%a\)，标记 \(f=1\)（表示已进行一次操作）。若 \(a > b\)，类似处理，记录三元组 \((b, a\%b, a - f)\)，更新 \(a = a\%b\)，标记 \(f=1\)。循环直到 a 或 b 为 0，此时所有中间状态都被记录到 p[0] 或 p[1] 中。

   （2）排序预处理

   for(int o=2;o--;)std::sort(p[o]+1,p[o]+1+m[o]);
   

   对 p[0] 和 p[1] 分别排序，为后续二分查找做准备，确保能快速统计符合条件的三元组数量。

   （3）查询处理

   for(int a,b,ans;q--;){a=read(),b=read(),ans=0;ans+=std::upper_bound(p[0]+1,p[0]+1+m[0],tri{a,b%a,(int)1e18})-p[0];ans-=std::lower_bound(p[0]+1,p[0]+1+m[0],tri{a,b%a,b})-p[0];ans+=std::upper_bound(p[1]+1,p[1]+1+m[1],tri{b,a%b,(int)1e18})-p[1];ans-=std::lower_bound(p[1]+1,p[1]+1+m[1],tri{b,a%b,a})-p[1];printf("%lld\n",ans);
   }
   

   对每个查询 \((x,y)\)（代码中用a,b接收），模拟逆变换的辗转相除步骤，分两种情况统计：

   • 情况 1（对应p[0]）：
     计算 \(y\%x\)，在 p[0] 中查找三元组满足 “第一个元素是x、第二个元素是 \(y\%x\)、第三个元素在 \([y, 1e18)\) 范围内” 的数量（通过 upper_bound 和 lower_bound 的差实现）。

   • 情况 2（对应p[1]）：
     计算 \(x\%y\)，在 p[1] 中查找三元组满足 “第一个元素是y、第二个元素是\(x\%y\)、第三个元素在\([x, 1e18)\)范围内” 的数量。
     两者数量之和即为该查询的答案。

3. 时间复杂度与效率预处理阶段：

   每个向量的辗转相除次数是 \(O(\log V)\)（V 是分量最大值），共 n 个向量，且排序的时间是 \(O(n \log V \log n)\)。

   查询阶段：每个查询的辗转相除次数是 \(O(\log V)\)，每次二分查找是 \(O(\log n)\)，共 q 个查询，总时间是 \(O(q \log V \log n)\)。

   整体复杂度 \(O((n + q) \log V \log n)\)，能高效处理题目中的大规模数据。

综上，这段代码通过逆变换 + 辗转相除 + 二分查找的思路，将原问题转化为对 “变换中间状态” 的统计问题，实现了高效的查询。