带权拉格朗日中值定理的证明

带权拉格朗日中值定理：设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 连续，且 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 可积且不变号（恒大于零或恒小于零），那么存在 \(c\in [a,b]\)，使得

\[\int^b_af(x)g(x)\text{d}x = f(c)\int^b_ag(x)\text{d}x \]

证明：

令 \(M\) 为 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 的最大值，\(m\) 为最小值。

那么 \(m\leq f(x)\leq M\)。

因为 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 不变号，我们就假设 \(g(x) \geq 0\)（\(g(x)<0\) 时证明方法类似）。

因此 \(mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)\)。

同时求积分。

\(\displaystyle\int^b_amg(x)\text{d}x\leq \int^b_af(x)g(x)\text{d}x\leq \int^b_aMg(x)\text{d}x\)。

\(m\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x\leq \int^b_af(x)g(x)\text{d}x\leq M\int^b_ag(x)\text{d}x\)。

若 \(\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x = 0\)，则由上式可知，\(\displaystyle\int^b_af(x)g(x)\text{d}x = 0\)，这样原命题的两边都等于 \(0\)，肯定成立。

否则同时除以 \(\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x\)。

\(m\leq \dfrac{\displaystyle\int^b_af(x)g(x)\text{d}x}{\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x}\leq M\)。

因此，根据介值定理（这个就不用我证明了吧，您去搜搜吧，我太累了），必然存在 \(c\) 满足 \(c\in [a, b]\) 且 \(f(c) = \dfrac{\displaystyle\int^b_af(x)g(x)\text{d}x}{\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x}\)。

所以，\(f(c)\displaystyle\int^b_ag(x)\text{d}x = \displaystyle\int^b_af(x)g(x)\text{d}x\)。