历史和线段树

news/2025/10/19 21:54:00/文章来源:https://www.cnblogs.com/aemmprty/p/19151504

我们一般在处理区间修改的操作时，会在线段树上打懒标记，意思是这个结点所代表的区间中的所有数都要同时进行一系列修改。为了更容易理解历史和线段树，我们先来回顾一下普通线段树的区间加操作。

\(\mathbf{Preperation}\)

引理

对于区间加，区间求和问题，我们在做线段树时，有结论：子节点的懒标记时间比父节点的懒标记靠前。

我们把注意力放在父子结点的懒标记之间的时间关系上，我们发现，操作后，新的被打上标记的顶点 \(t\)，它的父亲节点的标记都被下放了，所以父亲结点的懒坐标只可能在之后出现。

\(\mathbf{Part. 1}\)

进入正题。

给你一个序列 \(a_1\) 到 \(a_n\)，初始全为 \(0\)。你需要支持如下操作：

将 \([l, r]\) 区间中的每个数 \(a_i\) 加上 \(y\)
查询 \([l, r]\) 在历史每个时刻的和的总和

容易想到每次修改的时候，我们对 \([l, r]\) 的 \(a_i\) 区间加。然后，我们在全局上打一个历史和更新的标记。

我们对每个结点，记录三个信息，分别是 \(his, sum, len\)，表示这个区间的历史和，区间和，区间长度。由引理，我们知道在下放懒标记和单点加标记的时候，可以视作一些懒标记在前，一些懒标记在后，现在要合并在一起。

但这没有只有加法标记的时候那么显然，因为现在还有一个历史和更新操作，不是很好合并。

下文介绍两种方法。（还有一种我觉得不涉及历史和线段树的思想，不在赘述）

\(\mathbf{Part. 1.1 \ Matrix}\)

我们考虑刻画这两种标记分别在对这三个信息做什么。

区间加标记 \(v\)：\(sum = sum + len \times v\)
历史和更新标记：\(his = his + sum\)

实际上，这两种标记都只是在这三个变量里做线性变换，因此考虑用矩阵刻画。

我们把要存储的信息全部列在矩阵里，也就是 \(\begin{bmatrix}his\\sum\\len\end{bmatrix}\)，那么有：

区间加标记 \(v\)：乘上 \(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & v\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
历史和更新标记：乘上 \(\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)

现在，标记的合并都被刻画成了矩阵乘法，于是就十分好做了。

\(\mathbf{Part. 1.2 \ Tag \ Queue}\)

我们直接考虑如何合并两个标记队列。假设有两个标记队列 \(A, B\)，\(A\) 在前，\(B\) 在后。我们先把只在 \(A\) 或者 \(B\) 内的贡献加起来，计这个内部贡献为 \(ret\)。那么，我们只需要计算两个标记队列之间的贡献即可。

对于 \(A\) 队列里的任意一个加法标记，它在 \(B\) 每次历史和更新时都会被算一次，因此两边之间的贡献就是 \(add_A \times upd_B\)，其中 \(add_A\) 表示 \(A\) 中的加法标记和，\(upd_B\) 表示 \(B\) 中的历史和更新标记个数。

我们对每个结点，再计三个数 \(add, upd, ret\) ，用来表示整个标记队列。那么我们考虑一次下放操作，有 \(sum = sum + add'\)，\(ret = ret + ret' + add \times upd'\)，\(add = add + add'\)，\(upd = upd + upd'\)。根据这个转移即可。

我们比较一下这两种方法。