因式分解

好的，我们一起来因式分解这个多项式：

\[x^2 - 2y^2 + xy + x + 5y - 2 \]

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1. 按 \(x\) 降幂排列并尝试分组

把它看作关于 \(x\) 的二次式：

\[x^2 + xy + x - 2y^2 + 5y - 2 \]

即：

\[x^2 + (y+1)x + (-2y^2 + 5y - 2) \]

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2. 对常数部分（关于 \(y\) 的二次式）进行因式分解

\[-2y^2 + 5y - 2 \]

提取负号：

\[-(2y^2 - 5y + 2) \]

分解 \(2y^2 - 5y + 2\)：

\[2y^2 - 5y + 2 = (2y - 1)(y - 2) \]

所以：

\[-2y^2 + 5y - 2 = -(2y - 1)(y - 2) \]

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3. 原式变为

\[x^2 + (y+1)x - (2y - 1)(y - 2) \]

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4. 尝试十字相乘法（把 \(y\) 看作常数）

我们想找两个因式 \((x + ay + b)(x + cy + d)\)，使得：

• \(a + c = 1\)（\(xy\) 项系数）
• \(ac = -2\)（\(y^2\) 项系数）
• \(b + d = 1\)（\(x\) 项系数）
• \(ad + bc = 5\)（\(y\) 项系数）
• \(bd = -2\)（常数项）

由 \(ac = -2\) 且 \(a + c = 1\)，解得 \(a = 2, c = -1\)（或互换）。

设 \(a = 2, c = -1\)，则：

\[(x + 2y + b)(x - y + d) \]

展开 \(y\) 项系数：\(2d + (-1)b = 2d - b = 5\)
常数项：\(bd = -2\)
\(b + d = 1\)

解 \(b + d = 1\) 与 \(bd = -2\)：
\(b, d\) 是 \(t^2 - t - 2 = 0\) 的根，即 \(t = 2\) 或 \(t = -1\)。

若 \(b = 2, d = -1\)，则 \(2d - b = -2 - 2 = -4 \neq 5\)，不对。
若 \(b = -1, d = 2\)，则 \(2d - b = 4 - (-1) = 5\)，符合。

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5. 得到分解

\[(x + 2y - 1)(x - y + 2) \]

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6. 验证

展开：

\[(x + 2y - 1)(x - y + 2) \]

= \(x^2 - xy + 2x + 2xy - 2y^2 + 4y - x + y - 2\)
= \(x^2 + (-xy + 2xy) + (2x - x) - 2y^2 + (4y + y) - 2\)
= \(x^2 + xy + x - 2y^2 + 5y - 2\)，与原式一致。

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最终答案：
\[
\boxed{(x + 2y - 1)(x - y + 2)}
\]