阅读《记录一类分治方法》笔记

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题一

\(n\) 个点的无向图，边有边权。\(q\) 次操作，每次操作是添加/删除一条边、修改一条边的边权、查询最小生成树这四种之一。

前言

其实只看了题一，后面都还没看呢。

看到这个感觉和 P7457 [CERC2018] The Bridge on the River Kawaii 很像，感觉很牛。想看看这个做法能不能推广到这题。

然后脑子有些混乱，觉得很能推广啊，想写一发代码。然后代码写完发现 P7457 是询问两点连通性。这和最小生成树不一样。很搞笑了。

所以只能再开一篇把写的东西搬过来了。

思路

原文对我来讲有些简略，这里会讲的更详细一点。

考虑我们有 \(O(m+q)\) 条边，每条边在一个时间区间内有权值 \(w_i\)，在其他时刻权值为 \(inf\)，求最小生成树。离线。

设边的全集是 \(E\)，存在一些时刻权值是 \(inf\) 的边集是 \(Q\)。

把 \(Q\) 里所有边的权值设为 \(-inf\)，跑一遍最小生成树，选上的 \(E\) 里面的边无论任何情况都是必选的。所有可以缩掉这些必选边。这样我们的点数变成了 \(O(|Q|)\)。

把 \(Q\) 里所有边的权值设为 \(inf\)，跑一遍最小生成树，没有选上的 \(E\) 里面的边无论任何情况都不会被选择。所以可以删掉这些没用的边。这样我们的边数又变成 \(O(|Q|)\) 了。

对于当前分治区间，集合 \(E\) 定义为所有时间区间包含了整个分治区间的边。\(Q\) 定义为所有时间区间没有包含整个分治区间的边。

按照上面的方法，我们可以把点数和边数都变成 \(O(|Q|)\)。

\(Q\) 有多少条边？因为每次操作只会影响一条边，并确定这条边的时间区间的左/右端点。所以存在一个端点在当前分治区间内的边的数量，关于分治区间长度线性，即 \(O(len)\)。

既然我们保证了分治区间的点数和边数，那么每个分治区间把已经可以确定的点和边确定，有效的点和边留下即可。

总时间复杂度 \(O(q \log q)\)（并查集复杂度当常数看了）。