CF2140E2

给定 \(n(1 \le n\le 20), m(1 \le m \le 10^6)\) 和一些 \(p_i\)。有 \(n\) 堆石子，每堆石子有 \(1 \sim m\) 个。两个人进行博弈，每次每个人可以取走第 \(p_i\) 堆石子（\(i\) 任选），然后剩下的石堆重新编号，直至只有一堆石子。先手要最大化最后一堆石子的数量 \(x\)，后手要最小化 \(x\)。请计算所有石子配置的 \(x\) 之和。

先考虑 E1：\(m = 2\)。显然可以状压，令 \(dp_{c, u, 0/1}\) 表示还剩 \(c\) 堆石子，石子数组成的状态为 \(u\)，先手还是后手操作的答案。时间复杂度：\(O(n2^n)\)。

现在 \(m\) 扩到了 \(10^6\)，可以想办法使得只有两种不同的取值：枚举一个 \(0 \le t < m\)，将石子数 \(\le t\) 的看成 \(0\)，剩下的看成 \(1\)。那么得到的 DP 值就是 \(x\) 是否大于 \(t\)。而答案正好可以拆解为 \(\sum\limits_{t = 0}^{m - 1} x > t 的配置数量\)。

于是搞一次 DP。枚举 \(t\) 算出 \(> t\) 的方案数即可：

\[\sum\limits_{u} dp_{n, u, 0} \cdot t^{n - popcount(u)}(m - t)^{popcount(u)} \]

（有 \(popcount(u)\) 个数 \(\le t\)，\(n - popcount(u)\) 个数 \(> t\)）。

时间复杂度：\(O(n2^n + m)\)。

本题想到 \(m = 2\) 时可以状压，然后再通过枚举 \(t\) 将 \(m\) 转为 \(2\) 即可。