ST表学习笔记

前置知识：倍增

其实倍增就是二进制拆分，因为有的数可能很大，我们按照2的幂次去查询，就能用 \(log_2n\) 的时间复杂度求解

ST 表

创建

ST 表运用的是倍增思想，我们可以用 \(O(nlogn)\) 的时间创建一个二维表，根据倍增思想就可以实现 \(O(1)\) 的区间最值查询（RMQ 查询）

我们这样定义：

定义 \(dp[i,j]\) 表示 \([i,i+2^j-1]\) 区间的最值，易得这个区间的长度为 $ 2^j$ ，那么根据倍增，这个区间可以分成两个长度为 $ 2^{j-1} $ 的区间，使用递推求解，递推式如下（max 可换成 min）：

\[dp[i,j]=\max(dp[i,j-1],dp[i+2^{j-1},j-1]) \]

那么我们可以得出模板代码：

void init_st(){int k=log2(n);for(int i=1;i<=n;i++){dp[i][0]=a[i];}for(int j=1;j<=k;j++){for(int i=1;i<=n-(1<<j)+1;i++){dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}
}

这里先枚举 \(k\) 是因为我们需要通过 \(k\) 来确定枚举的右区间，不然范围就会超过 \(n\)。

查询

我们要查询的是一个 \([l,r]\) 区间，我们可以这样理解一下：

我们只要找到一个最大的不超过 \(l,r\) 长度的 2 的幂次 \(k\)，就能用建好的 ST 表计算答案。

而根据对数的定义：

\[\log_2n=a \to 2^a=n \]

所以，我们有($ [l,r]$ 表示 \(l,r\) 这个区间的长度)：

\[\log_2[l,r]=k\to 2^k=[l,r] \]

所以 \(k\) 的答案是\(\log_2 r-l+1\)，其中 \(r-l+1\) 求的是区间 \([l,r]\) 的长度。

那么就能够得出查询的公式：

\[k=\log_2r-l+1\\ ans=\max(dp[l][k],dp[r-2^k+1][k]) \]

所以代码就很好写：

int k=__lg(y-x+1);
cout<<max(dp[x][k],dp[y-(1<<k)+1][k])<<endl;

总结

ST 表是基于倍增思想完成的一种支持 RMQ问题(静态区间最值问题查询)的数据结构

ST 表能够实现 \(O(n\log n)\) 建表

尝试独自完成洛谷 P3865 【模板】ST 表 & RMQ 问题