GAE-广义优势估计算法介绍

一句话总结

GAE 就像「既要稳又要准」的聪明妥协：用多步 TD 误差加权平均，既缓解了 MC 的高方差，又减少了 TD 的单一偏差，通过调节参数（λ）灵活平衡两者的优缺点。

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MC vs TD 的痛点

1. MC（蒙特卡洛）：
   • 原理：跑完整个回合，用实际总回报（如游戏通关后的总分）更新每一步的价值。
   • 优点：无偏（完全真实结果）。
   • 缺点：方差大（结果波动大，比如同一局游戏可能因为随机性得分天差地别）。
2. TD（时间差分）：
   • 原理：走一步看一步，用当前奖励+下一步估计值（比如预测下一步得分）更新当前价值。
   • 优点：方差低（结果稳定）。
   • 缺点：有偏（预测可能不准，导致误差累积）。

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GAE 的解决思路

GAE 的核心是：混合多步的 TD 误差，而不是只用单步（TD）或全程（MC）。
具体来说：

1. TD 误差（δ）：每一步的「惊喜值」，即当前奖励+下一步预测值 与 当前预测值的差。
2. 加权平均：GAE 将未来多步的 TD 误差按权重（λ 的指数衰减）叠加，形成一个综合优势值。
   • λ=0：退化为单步 TD，低方差但有偏。
   • λ=1：退化为 MC，无偏但高方差。
   • 中间值（如 0.95）：折中，既不过分依赖单步预测，也不迷信全程结果。

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GAE 的优势

1. 平衡偏差与方差：通过调节 λ，在 MC 的「真实但波动大」和 TD 的「稳定但可能跑偏」之间找到最佳平衡点。
2. 适应性强：适用于不同任务，比如：
   • 环境随机性高（λ 小，更依赖近期稳定预测）。
   • 环境确定性高（λ 大，更信任长期真实回报）。
3. 计算高效：只需单次遍历轨迹即可计算多步优势，适合深度学习框架。

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举个栗子 🌰

假设你教 AI 玩《超级马里奥》：

• MC：必须等马里奥通关或死亡，才能用最终得分更新所有操作。但一局游戏可能因为一个陷阱突然结束，导致某些操作被误判。
• TD：每走一步就根据当前金币+对下一步的预测更新。但如果 AI 对“跳悬崖能得分”有错误预测，会一直错误更新。
• GAE：综合未来几步的预测（比如跳悬崖后可能死亡，但短期内能吃到金币），通过 λ 决定更信任短期还是长期结果，避免极端情况。

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原理公式（直观版）

GAE 的优势函数可以简化为：
[
A^{\text{GAE}} = \sum{k=0}^{\infty} (\lambda \gamma)^k \delta
]

• γ：折扣因子（未来奖励的重要性）。
• λ：调节「多步信任程度」的参数。
• δ：单步 TD 误差（当前奖励+下一步预测值 - 当前预测值）。

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总结

GAE 像是一个「老练的投资者」：
不把所有钱押在短期波动（TD）上，也不盲目等待长期回报（MC），而是通过分散投资（多步加权），平衡风险（方差）和收益（偏差），最终实现稳定增长（策略优化）。

Q:

• 为什么 λ=0 时退化为单步 TD？为什么 λ=1 时退化成 MC？

在 GAE（广义优势估计）中，参数 λ 控制不同时间步的 TD 误差的加权方式。通过调整 λ 的值，GAE 可以在单步 TD 估计和蒙特卡洛（MC）估计之间平滑过渡。以下是具体解释：

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1. 当 λ=0 时：退化为单步 TD 估计

数学推导

GAE 的优势估计公式为：
[
A^{\text{GAE}}(st) = \sum^{\infty} (\lambda \gamma)^k \delta{t+k}
]
其中，单步 TD 误差定义为：
[
\delta = rt + \gamma V(s) - V(s_t)
]

当 λ=0 时，每一项的权重为：
[
(\lambda \gamma)^k = 0^k = 0 \quad (\text{当 } k \geq 1 \text{ 时})
]
因此，只有 k=0 的项被保留：
[
A^{\text{GAE}}(st) = \delta_t = r_t + \gamma V(s) - V(s_t)
]
这正是单步 TD 误差，即单步 TD 估计的优势函数。

直观理解

• 只看一步：GAE 仅使用当前奖励 ( rt ) 和下一步的价值估计 ( V(s) )，完全忽略后续步骤。
• 低方差，但有偏：由于依赖价值函数 ( V ) 的估计，结果可能因 ( V ) 的不准确而产生偏差，但方差较低（仅涉及一步随机性）。

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2. 当 λ=1 时：退化为 MC 估计

数学推导

当 λ=1 时，权重变为：
[
(\lambda \gamma)^k = \gamma^k
]
此时，GAE 的优势估计为：
[
A^{\text{GAE}}(st) = \sum^{\infty} \gamma^k \delta_{t+k}
]

展开后发现：
[
\sum{k=0}^{\infty} \gamma^k \delta = \sum{k=0}^{\infty} \gamma^k \left( r + \gamma V(s{t+k+1}) - V(s) \right)
]
逐项展开后，所有中间项 ( \gamma V(s) ) 会相互抵消，最终剩余：
[
A^{\text{GAE}}(st) = \sum^{\infty} \gamma^k r_{t+k} - V(s_t)
]
这正是 蒙特卡洛回报 ( G_t ) 减去当前价值 ( V(s_t) )，即：
[
A^{\text{GAE}}(s_t) = G_t - V(s_t)
]

直观理解

• 完全依赖真实回报：GAE 通过累加从当前时刻到回合结束的所有折扣奖励 ( G_t )，不再使用中间的价值估计 ( V )，因此与 MC 方法完全一致。
• 无偏，但高方差：结果完全基于实际采样数据，无模型偏差，但方差较高（整个回合的随机性被纳入计算）。

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3. 关键区别：偏差与方差的权衡

方法	λ 的值	原理	优点	缺点
单步 TD	λ=0	仅用下一步的估计更新当前价值	低方差，计算快	有偏（依赖模型估计）
蒙特卡洛	λ=1	用整个回合的真实回报更新	无偏	高方差，需完整回合
GAE（中间 λ）	0<λ<1	加权多步 TD 误差，平衡两者	灵活调节偏差与方差	需调参 λ

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4. 直观比喻

• λ=0（单步 TD）：
  像一个“短视的决策者”，只相信眼前的一步（下一步的预测），忽略长期影响。优点是反应快，缺点是容易被短期错误误导。

• λ=1（MC）：
  像一个“固执的完美主义者”，必须看到最终结果才做判断。优点是绝对准确，缺点是效率低且容易受随机事件干扰。

• GAE（0<λ<1）：
  像一个“经验丰富的策略家”，既参考近期预测（λ 接近 0），又兼顾长期结果（λ 接近 1），通过 λ 灵活调整信任程度。

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总结

• λ=0：退化为单步 TD，因为只保留单步 TD 误差，完全忽略后续步骤。
• λ=1：退化为 MC，因为累加所有步的 TD 误差后，结果等价于蒙特卡洛回报减去当前价值。
• λ 的作用：通过调整 λ，在“低方差但有偏”（TD）和“无偏但高方差”（MC）之间找到最佳平衡点。

GAE 的具体计算方式

好的，我们来详细展开并解释广义优势估计 (Generalized Advantage Estimation, GAE) 的公式。

GAE 是一种在强化学习中用于估计优势函数的高级技巧，它通过一个参数 λ 来巧妙地平衡偏差 (bias) 和方差 (variance)，从而得到更稳定和高效的策略更新。

1. 目标：估计优势函数 (Advantage Function)

首先，我们想估计的目标是优势函数 \(A(s, a)\)。它回答了这样一个问题：“在状态 \(s\) 下，执行动作 \(a\) 相比于遵循当前策略的平均水平，到底好多少？”

• 定义式:
  \[A(s, a) = Q(s, a) - V(s) \]
  • \(Q(s, a)\): 在状态 \(s\) 执行动作 \(a\) 后，期望能获得的未来总回报（动作价值）。
  • \(V(s)\): 在状态 \(s\) 下，遵循当前策略所能获得的平均未来总回报（状态价值）。

一个准确的 \(A(s, a)\) 估算值对于策略梯度算法（如 PPO）至关重要。它告诉我们应该增加 (\(A > 0\)) 还是减少 (\(A < 0\)) 在状态 \(s\) 下采取动作 \(a\) 的概率。

2. 基础模块：时序差分误差 (TD Error)

最简单的优势估算方法是使用时序差分误差 (TD Error)，记为 \(\delta_t\)。它衡量了现实（走出一步后）与预期之间的“惊喜”程度。

• 公式:
  \[\delta_t = R_t + \gamma V(s_{t+1}) - V(s_t) \]
  • \(R_t\): 在时间步 \(t\) 获得的即时奖励。
  • \(\gamma\) (gamma): 折扣因子（例如 0.99），用于衡量未来奖励的重要性。
  • \(V(s_{t+1})\): Critic 网络对下一个状态 \(s_{t+1}\) 的价值估计。
  • \(V(s_t)\): Critic 网络对当前状态 \(s_t\) 的价值估计。

直观来看，\(R_t + \gamma V(s_{t+1})\) 是对当前状态价值 \(V(s_t)\) 的一个基于真实样本的、更准确的估计。因此，\(\delta_t\) 衡量了现实比我们的初始预期 \(V(s_t)\) 好了多少（或差了多少）。

这个 \(\delta_t\) 可以被看作是单步优势估计。它的方差很低（因为它只依赖于一步的随机性），但偏差可能很高（因为它严重依赖于可能不准确的价值估计 \(V(s_{t+1})\)）。

3. GAE 公式：核心思想与展开形式

GAE 的核心思想是不只看一步，而是综合考虑未来多步的 TD 误差，并通过引入一个新参数 \(\lambda\) (lambda, 通常在 0 到 1 之间) 来对它们进行加权平均。

• 当 \(\lambda=0\) 时，GAE 只考虑单步 TD 误差，这对应于低方差、高偏差的情况。
• 当 \(\lambda=1\) 时，GAE 会考虑未来所有步的 TD 误差，这等价于蒙特卡洛方法，对应于高方差、低偏差的情况。

GAE 的优势估计值 \(\hat{A}_t^{\text{GAE}}\) 是未来所有 TD 误差的指数加权平均。

下面就是您要的 GAE 完全展开后的公式：

\[\hat{A}_t^{\text{GAE}} = \delta_t + (\gamma\lambda)\delta_{t+1} + (\gamma\lambda)^2\delta_{t+2} + (\gamma\lambda)^3\delta_{t+3} + \dots \]

使用求和符号表示，则为：

\[\hat{A}_t^{\text{GAE}} = \sum_{l=0}^{\infty} (\gamma\lambda)^l \delta_{t+l} \]

让我们来解析这个展开式：

• \(\delta_t\): 当前这一步的 TD 误差被完全计算在内，权重为 1。
• \((\gamma\lambda)\delta_{t+1}\): 下一步的 TD 误差 \(\delta_{t+1}\) 也被考虑进来，但它的权重被折扣了两次：一次是常规的未来奖励折扣 \(\gamma\)，另一次是 GAE 的平衡因子 \(\lambda\)。
• \((\gamma\lambda)^2\delta_{t+2}\): 再下一步的 TD 误差 \(\delta_{t+2}\) 被考虑，但其权重被进一步削减。
• 以此类推，来自更遥远未来的 TD 误差的“话语权”会以 \((\gamma\lambda)\) 的指数级速度衰减。

4. 实际计算：递归公式

尽管展开式有助于理解，但在实际计算中我们无法处理一个无限项的和。幸运的是，上面的展开式可以等价地写成一个非常简洁的递归形式。

\[\hat{A}_t^{\text{GAE}} = \delta_t + \gamma\lambda \hat{A}_{t+1}^{\text{GAE}} \]

这个公式是如何在代码中实现的？

当一个回合（或一批数据）结束后，我们需要从后往前计算 GAE 值：

1. 首先，计算轨迹中每一步的 TD 误差 \(\delta_t\)。
2. 对于轨迹的最后一步 \(T\)，由于没有“下一步”了，所以它的 GAE 值就是它的 TD 误差：
   \(\hat{A}_T^{\text{GAE}} = \delta_T\)。
3. 然后，计算倒数第二步 \(T-1\) 的 GAE 值：
   \(\hat{A}_{T-1}^{\text{GAE}} = \delta_{T-1} + \gamma\lambda \hat{A}_{T}^{\text{GAE}}\)。
4. 接着，计算倒数第三步 \(T-2\) 的 GAE 值：
   \(\hat{A}_{T-2}^{\text{GAE}} = \delta_{T-2} + \gamma\lambda \hat{A}_{T-1}^{\text{GAE}}\)。
5. ...不断向前递推，直到计算出轨迹中每一步的 GAE 值。

通过这种方式，GAE 高效地为策略网络提供了高质量的、平衡了偏差和方差的更新信号。