训练笔记：博弈杂题

[7-/7] A. 黎明

\(1\sim n\) 排成一个环进行约瑟夫（隔一个删一个），求有多少个时刻，被删除的数的异或和为 \(0\)。

多测 \(10^5\) 组，\(n<10^{18}\)。

hint：考虑把约瑟夫的过程分解为 \(\lceil\log n\rceil\) 个公差为 \(2^k\) 的等差数列。注意到可以每四个分段使得内部异或和为 \(0\)。后续随便做。

[8/8] B. AGC043C. Giant Graph

给 \(n\) 个点的简单无向图 \(X,Y,Z\)，顶点编号均为 \(1\sim n\)。

建一个新图 \(W\)，有 \(n^3\) 个点，以 \((i,j,k)\) 表示一个点。

对于 \(X\) 中边 \((u,v)\) 与任意 \(x,y\)，在 \(W\) 中连边 \((u,x,y),(v,x,y)\)；

对于 \(Y\)、\(Z\) 同理。

定义 \((i,j,k)\) 的点权为 \(10^{18(i+j+k)}\)。求最大权独立集的权值，对 \(998244353\) 取模。

\(n,m_1,m_2,m_3\le 10^5\)。

hint：首先注意到 \(10^{18}\) 很大，所以我们（不严谨地说）需要尽可能多地选权值大的点。

然后发现权值相等的点之间没有边。于是一个点被选择当且仅当与它有连边且权值大于它的都没有被选择。

[???] 若我们把边由权值小的向权值大的定向，发现一个点被选择当且仅当从这个点开始跑有向图博弈时先手必败。证明显然。

然后可以发现，这张新图是原来三个游戏的复合。

于是，求出三张图上每个点的 SG 值，答案即为

\[\sum_{i,j,k}[a_i\oplus b_j\oplus c_k=0] 10^i10^j10^k \]

于是变成异或卷积。