【题解】P11459 [USACO24DEC] Its Mooin Time P

其实是套路题。但有段时间没写过闵可夫斯基和优化 \(dp\) 了，记录一下。

先简单回顾一下闵可夫斯基和。点集 \(P\) 与 点集 \(Q\) 的闵可夫斯基和定义为：\(P+Q=\{a+b|a\in P,b\in Q\}\) 。

对于两个凸包的闵可夫斯基和，有如下性质：

1. \(P+Q\) 也为凸包。
2. \(P+Q\) 的边集由 \(P,Q\) 的边按极角排序后连接的结果。

因此对于大小为 \(n\) 和 \(m\) 的两个凸包，我们可以通过 \(O(n+m)\) 的时间复杂度求出它们的闵可夫斯基和。

对于 \((\max,+)\) 卷积和 \((\min,+)\) 卷积，我们也可以通过类似的方式进行优化。

以 \((\max,+)\) 卷积为例，设 $c_i=\max_{j+k=i}{a_j+b_k} $。

如果 \((i,a_i)\) 与 \((i,b_i)\) 分别构成凸包，它们的闵可夫斯基和即为 \((i,c_i)\) ，那么可以通过如上方法快速求解数组 \(c\) 。

如何使用闵可夫斯基和优化 \(dp\) ？对于 \(f_{i,j}=\max_{k<j}\{f_{i-1,k}+a_i\}\) 这类的 \(dp\) ，其中 \(i\) 这一维可能是形如 “选择 \(i\) 个物品” 状物。我们可以退一步，将序列 \(dp\) 改为区间 \(dp\) ，然后用 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) 的答案合并得到 \([l,r]\) 的答案。考虑分治，这样合并两段区间的贡献相当于做闵可夫斯基和的过程，总复杂度 \(O(n\log n)\) 。

回到这一题，由于 \(L\) 固定，我们可以对每个 \(i\) 预先求出 \([i,i+L-1]\) 合并出 MO.. 的答案。设 \(f_{i,j}\) 表示考虑前 \(i\) 位作为 MO.. 的起点，恰好包含 \(j\) 段 MO.. 的答案，那么转移形式与上式类似，只是要求前一个转移点与当前点相差至少 \(L\) 。将 \(dp\) 改为区间 \(dp\) ，设 \(f_{l,r,a1,a2,k}\) 表示考虑第 \(l\) 到 \(r\) 位作为 MO.. 的起点，最左、右端的点离左右端点的距离状态分别为 \(a_1,a_2\) ，至少包含 \(k\) 段 MO.. 的答案。其中，\(a_1,a_2\) 为 \(0/1/2\) 分别表示距离两段距离为 \(0/1/\geq2\) 。合并连段时做类似矩阵乘法，对 \(a_1,a_2\) 做卷积。时间复杂度 \(O(nL^2\log n)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read(){ll x=0; bool f=1; char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=0; ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar();}return f?x:-x;
}
inline void write(ll x){if(x<0) x=-x,putchar('-');if(x>9) write(x/10);putchar('0'+x%10);
}
const ll N=300009;
const ll INF=1e18;
ll L,n,c[N],a[N];
ll g[10][10];
string s;
struct Node{vector<ll> f[3][3];
};
vector<ll> merge(vector<ll> a,vector<ll> b){for(ll i=a.size()-1;i>=2;i--) a[i]-=a[i-1];for(ll i=b.size()-1;i>=2;i--) b[i]-=b[i-1];vector<ll> c(a.size()+b.size()-1);c[0]=a[0]+b[0];merge(a.begin()+1,a.end(),b.begin()+1,b.end(),c.begin()+1);for(ll i=1;i<a.size()+b.size()-1;i++){c[i]+=c[i-1];}return c;
}
void add(vector<ll>&x,vector<ll> y){while(x.size()<y.size()) x.push_back(INF);for(ll i=0;i<y.size();i++) x[i]=min(x[i],y[i]);
}
Node solve(ll l,ll r){if(r-l+1<=2*L){Node res;for(ll x=0;x<L;x++){for(ll y=0;y<L;y++){memset(g,0x3f,sizeof(g));for(ll i=l+x;i<=r-y;i++){g[i-l+1][1]=a[i];if(i-L>=l){for(ll j=2;j<=r-l+1;j++){g[i-l+1][j]=min(g[i-l+1][j],g[i-l+1-L][j-1]+a[i]);}}for(ll j=1;j<=r-l+1;j++){g[i-l+1][j]=min(g[i-l+1][j],g[i-l][j]);}}vector<ll> cur; cur.push_back(0);for(ll i=1;i<=r-l+1;i++){ll mn=INF;for(ll j=l;j<=r;j++){mn=min(mn,g[j-l+1][i]);}if(mn>=INF) break;cur.push_back(mn);}res.f[x][y]=cur;}}return res;}ll mid=(l+r)/2;auto ls=solve(l,mid),rs=solve(mid+1,r);Node res;for(ll i=0;i<=L-1;i++){for(ll j=0;j<=L-1;j++){for(ll mid=0;mid<=L-1;mid++){add(res.f[i][j],merge(ls.f[i][mid],rs.f[L-1-mid][j]));}}}return res;
}
int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>L>>n;cin>>s; s=" "+s;for(ll i=1;i<=n;i++){cin>>c[i];}for(ll i=1;i<=n-L+1;i++){if(s[i]!='M') a[i]=c[i];for(ll j=i+1;j<=i+L-1;j++){if(s[j]!='O') a[i]+=c[j];}}Node res=solve(1,n-L+1);for(ll i=1;i<=n/L;i++){cout<<res.f[0][0][i]<<"\n";}return 0;
}