网站官网建设方案,网站开发技术历史,wordpress帖子增强,跨境电商最好的平台幂级数和幂级数的和函数有什么关系#xff1f; 本文例子引用自#xff1a;80_1幂级数运算#xff0c;逐项积分、求导【小元老师】高等数学#xff0c;考研数学 求幂级数 ∑ n 1 ∞ 1 n x n \sum\limits_{n1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n n1∑∞​n1​xn 的和函数 #xff…幂级数和幂级数的和函数有什么关系 本文例子引用自80_1幂级数运算逐项积分、求导【小元老师】高等数学考研数学 求幂级数 ∑ n 1 ∞ 1 n x n \sum\limits_{n1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n n1∑∞​n1​xn 的和函数 1求收敛半径由于是不缺项级数所以可以使用 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n 1 a n ∣ ρ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n1}}{a_n}|\rho n→∞lim​∣an​an1​​∣ρ若是缺项级数则只能使用 lim ⁡ n → ∞ ∣ u n 1 ( x ) u n ( x ) ∣ ρ ∣ ϕ ( x ) ∣ 1 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{u_{n1}(x)}{u_n(x)}|\rho|\phi(x)|\lt 1 n→∞lim​∣un​(x)un1​(x)​∣ρ∣ϕ(x)∣1当然不缺项级数也可使用后者。 ρ lim ⁡ n → ∞ ∣ a n 1 a n ∣ lim ⁡ n → ∞ ∣ 1 n 1 1 n ∣ 1 \rho\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n1}}{a_n}|\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{\frac{1}{n1}}{\frac{1}{n}}|1 ρn→∞lim​∣an​an1​​∣n→∞lim​∣n1​n11​​∣1 2判断端点处的敛散性 当 x − 1 x-1 x−1 时 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n 1 n \sum\limits_{n1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n} n1∑∞​(−1)nn1​ u n 1 n → 0 u_n\frac{1}{n}\rightarrow0 un​n1​→0 且 u n 1 n u_n\frac{1}{n} un​n1​递减级数收敛利用交错级数的莱布尼茨定理判别 当 x 1 x1 x1 时 ∑ n 1 ∞ 1 n \sum\limits_{n1}^{\infty}\frac{1}{n} n1∑∞​n1​ p 1 p1 p1级数发散利用p级数判别 3综上该级数收敛域 [ − 1 , 1 ) [-1,1) [−1,1) 4求收敛域中幂级数的和函数在收敛域中幂级数等于其和函数超过收敛域二者不等 s ( x ) ∑ n 1 ∞ 1 n x n x 1 2 x 2 1 3 x 3 ⋯ 1 n x n ⋯ s(x)\sum\limits_{n1}^{\infty}\frac{1}{n}x^nx\frac{1}{2}x^2\frac{1}{3}x^3\cdots\frac{1}{n}x^n\cdots s(x)n1∑∞​n1​xnx21​x231​x3⋯n1​xn⋯ 逐项求导 s ′ ( x ) ( ∑ n 1 ∞ 1 n x n ) ′ 1 x x 2 ⋯ 1 n x n − 1 ⋯ 1 1 − x s(x)\big(\sum\limits_{n1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n\big)1xx^2\cdots\frac{1}{n}x^{n-1}\cdots\frac{1}{1-x} s′(x)(n1∑∞​n1​xn)′1xx2⋯n1​xn−1⋯1−x1​ 左右两端同时积分右侧逐项积分 s ( x ) s ( 0 ) ∫ 0 x s ′ ( t ) d t 0 ∫ 0 x 1 1 − t d t − ln ⁡ ( 1 − x ) s(x)s(0)\int_0^xs(t)dt0\int_0^x\frac{1}{1-t}dt-\ln(1-x) s(x)s(0)∫0x​s′(t)dt0∫0x​1−t1​dt−ln(1−x) 上式为什么还有 s ( 0 ) s(0) s(0)? ∫ 0 x s ′ ( t ) d t s ( x ) ∣ 0 x s ( x ) − s ( 0 ) s ( x ) s ( 0 ) ∫ 0 x s ′ ( t ) d t \int_0^xs(t)dts(x)|_0^xs(x)-s(0)\\ ~\\ s(x)s(0)\int_0^xs(t)dt ∫0x​s′(t)dts(x)∣0x​s(x)−s(0) s(x)s(0)∫0x​s′(t)dt 最终收敛域上幂级数的和函数为 s ( x ) − ln ⁡ ( 1 − x ) x ∈ [ − 1 , 1 ) s(x)-\ln(1-x)x\in[-1,1) s(x)−ln(1−x)x∈[−1,1) 我们为什么要兜圈子先对级数求导或积分然后再进行积分或求导呢 主要想利用等比级数因为其和函数容易求得而逐项求导和积分的目的是将所给幂级数变换为等比级数随后利用等比级数求出所给幂级数的和函数 我们在图像中看看到底幂级数和幂级数的和函数有什么关系 下图中幂级数的图像为绿色曲线其实不是真正的图像因为 n n n为无穷大笔者这里 n n n只取到了9仅做示意。下图中红色曲线为幂级数和函数的图像我们可以发现在收敛域中幂级数等于其和函数超过收敛域二者是不等的