高中数列梳理

news/2025/10/4 22:30:01/文章来源:https://www.cnblogs.com/zzhallen/p/19126011

upd.2025.10.3

高中数学中的数列

本文内容有:
$1.数列意义$
$2.特殊数列(等差\&等比)$
$3.数列单调性$
$4.数列通项方法$
$5.数列求和方法$
(以下待施工)
$6.数列不等式$
$ex.差分算子方法$

1.数列意义

数列(sequence of number)英文表示"数的序列"，即一组数有顺序的排在一起，这是最本质的意义

高中的数列$\{a_n\}$，是一个下标$ n \in N^* $的一组数(1-index,在一些题目里会见到$n \in N$,即首项为$a_0$的0-index)

从函数的视角来看，$\{a_n\}$是一个$f(n),n\in N^*$的值域,即离散函数的值域

因此研究数列的一种方法是从熟悉的连续函数入手，将定义域缩减至自然数集进行研究

对于数列表示，有三种方法

通项法:直接给出$a_n = f(n)$的式子
递推关系:告知$x$阶递推$a_n=f(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-x}),n\geq x+1$,且给出其$a_1,a_2,...,a_x$的值
图像法

2.特殊数列

等差数列(Arithmetic Progression)

以下简记$AP$,英文译为 算数的数列, 英文名更贴近这个数列本质。

AP的递推及其通项

书本基本定义为$a_{n+1}-a_{n}=d$,$d$为常数，记作公差

移项可得到其一阶递推关系:$a_{n+1}=a_{n}+d$

对于定义式$a_{n+1}-a_n=d$ 进行如下操作：

$\begin{cases} a_{n+1}-a_n=d \\ a_n-a_{n-1}=d \\\vdots\\a_3-a_2=d\\a_2-a_1=d \end{cases}$
将上述式子全部相加，得到
$a_{n+1}-a_1=nd$,即$a_n=a_1+(n-1)d$
这样便得出了通项式,这种求和消去的方法叫做累加法

AP的性质

AP的性质与 $“Arithmetic”$息息相关。

我们知道，对于 x, y, z三个数，y是其等差中项，那么便有:
$2y = x + z$
整理可得:
$y = \frac{x+z}{2}$，即$y$是$x,z$的算数平均数

对于AP，这个性质更加强大:
$\forall n,m,p,q \in N^*, n+m=p+q ,{a_n}成AP$
那么就有
$a_n+a_m=a_p+a_q=2a_{\frac{n+m}{2}}$
原因就在于其算术平均数
因此等差数列的核心就在于其最中间的那一项。
在AP部分后我们令$a_{mid}表示a_{\frac{n+1}{2}}$

求和：

$S_n = \sum_{i=1}^n a_i, {a_n}成AP,求S_n通项$

高斯使用倒序相加法进行求解
$S_n = a_1 + a_2 + a_3+...+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$
$S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2}+...+a_3+a_2+a_1$
上下两式相加,得到
$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=na_{mid}$
这就是等差数列求和公式，又称算术级数公式

对于等差数列的若干性质，用它的算数意义($a_{mid}$)都可以解决

等比数列(Geometric Progression)

以下简记$GP$,英文译为 几何的数列, 英文名更贴近这个数列本质。

GP的递推及其通项

书本定义为$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$
这个式子很危险，它有隐含条件: $a_n \neq0,q\neq0$
在判断GP的时候请一定注意这两个条件
整理可得通项式:$a_{n+1}=qa_n$

$\begin{cases} \frac{a_{n+1}}{a_n}=q \\ \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q\\\vdots\\ \frac{a_{3}}{a_2}=q\\\frac{a_{2}}{a_1}=q \end{cases}$
将上述式子全部相乘，得到
$a_{n+1}=a_1q^n$,即$a_n=a_1q^{n-1}$
这样便得出了通项式,这种求和消去的方法叫做累乘法

累加法和累乘法的重要思想都是通过逆运算，将多数项转化为运算单位元

GP的性质

同样的，对于$x,y,z$成等比中项可以得到
$y^2=xz$,可以得到当$xz<0$时$y$为虚数,当$xz>0$时y有两根

取其正根$y=\sqrt{xz},即y为xz的几何平均数$

同样的，可以得到
$\forall n,m,p,q \in N^*, n+m=p+q ,{a_n}成AP$
那么就有
$a_na_m=a_pa_q=a^2_{\frac{n+m}{2}}$

你可以看作次数上成等差

不难发现GP的公比$q$十分神秘
当$q=1$时，其为常数数列
当$q<0$时，为摆动数列
当$0<|q|<1$时，向x轴收敛

在$GP$中，请注意其符号关系。

对于${a_n}成GP$
定义$S_n=\sum^n_{i=1}a_i$，可以用错位相减法求通项
$S_n=a_1+a_1q+...+a_1q^{n-2}+a_1q^{n-1}$
$qS_n= a_1q+...+a_1q^{n-2}+a_1q^{n-1} +a_1q^n$
当$q\neq1$时，将两式相减，得到
$S_n=\frac{a_1-a_q}{1-q}$
当$q=1$时，易得
$S_n=na_1$
以上两个式子为等比数列求和公式,又称几何级数公式

3.数列的单调性

关于单调性的讨论,我们有以下几种方法:

对数列对应的连续函数求导，再对应到$N^*$上
利用差分数列
图像法

比较简单，不过多赘述

4.数列通项

方法1. 累加法

若给出的$k$阶递推关系可以写做$a_n-a_{n-1}-...-a_{n-k}=f(n)$,且$f(n)$易求和,则可以用累加法求和。

方法2. 累乘法

同方法1，但是形式不同
若给出的$k$阶递推关系可以写做$\frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n)$,且$f(n)$易求积,则可以用累乘法求和。

方法3. 构造法

$Case1:$
形如 $a_n=pa_{n-1}+qn+k$,可以用待定系数$a_n+xn+y=p[a_{n-1}-x(n-1)+y]$列二元方程求解$
$Case2:$
形如$a_n=pa_{n-1}+f(n)$,可以同除以$p^n$,得到$\frac{a_n}{p^n}=\frac{a_{n-1}}{p^{n-1}}+\frac{f(n)}{p^{n-1}}$，对于$\{\frac{a_n}{p^n}\}$成AP进行求解
$Case3:$
形如$a_n=pa_{n-1}^q$,可以两边同时取对数,得到$lna_n=qlna_{n-1}$,对于$\{lna_n\}$成GP进行求解
此外，还有三角代换,分式代换等方法，不常考，这里不再赘述

方法4. 不动点法

解决形如$a_n=\frac{aa_{n-1}+b}{ca_{n-1}+d}$
对于方程$x=\frac{ax+b}{cx+d}$的根$x_1,x_2$，我们称其为$\{a_n\}$的不动点。

当$x_1=x_2$时,构造数列:
$\frac{1}{a_n-x_1}=\frac{1}{a_{n-1}-x_1}+C$，带入$a_1,a_2$求出$C$的值即可
当$x_1 \neq x_2$,构造数列:
$\frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}=C\frac{a_{n-1}-x_1}{a_{n-1}-x_2}$,带入求出$C$即可
当$x_1,x_2\notin R$,但是$x_1,x_2$为单位根的形式,则$a_n$具有最小正周期,周期即为单位根对应的正整数

不动点法的原理为因式分解.

方法5. 特征方程(useless algorithm)

这个方法可以适用于所有k阶常系数线性齐次递推关系的求解，但是高中一般考察二阶，所以这里只叙述二阶。

对于二阶关系$a_n=pa_{n-1}+qa_{n-1}$
特征方程为$x^2=px+q$,特征根$\alpha,\beta$为这两个方程的根

当 $\alpha = \beta:$
$a_n=[A\alpha+B(n-1)]\alpha^{n-1},A=\frac{a_1}{\alpha},B=\frac{a_2-a_1}{\alpha}$
当 $\alpha \neq \beta:$
$a_n=A\alpha^n+B\alpha^n,A=\frac{a_2-\beta a_1}{(\alpha-\beta)\alpha},B=\frac{a_2-\alpha a_1}{(\alpha-\beta)\beta}$
~~事实上这个方法一般不会考。~~

5.数列求和

方法1.错位相减法

考的最多的，错误率也极高的
适用范围：等差乘等比的数列
设$a_n=b_nc_n,b_n为AP,c_n为GP,q为\{c_n\}公比,d为\{b_n\}公比$
$\sum_1^na_i=a_1+(b_2c_2+b_3c_3+...+b_nc_n)$
$q\sum^n_1a_i=(b_1c_2+b_2c_3+...+b_{n-1}c_n)+b_nc_{n+1}$
上式减去下式得到:
$\sum_1^na_i=\frac{a_1-d\sum^n_2c_i-b_nc_{n+1}}{(1-q)}$