P9877/QOJ5069 Vacation

题意

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 和定值 \(c\)，\(q\) 次操作，每次操作可以是单点修改，也可以是查询 \([l,r]\) 的所有区间长度 \(\le c\) 的子区间中区间和最大是多少。

\(c\le n\le 2\times10^5,q\le 5\times10^5,\left|a_i\right|\le 10^9\)

分析

套路性的考虑按 \(c\) 分块，那么贡献可以看做块内贡献和块间贡献。块内贡献直接线段树维护最大子段和，然后再开一棵线段树维护所有块内的最大子段和的最大值。对于块间贡献，设 \(f_i\) 为块内 \(i\) 为起点的后缀和，\(g_j\) 为下一个块 \(j\) 为终点的前缀和，那么块间答案就是 \(\max_{j-i+1\le c}f_i+g_j\)。考虑将下一个块的下标 \(j\) 平移到本块中，就是 \(\max_{j<i} f_i+g_j\)，开个线段树维护区间内本块的后缀最大值，下一个块的前缀最大值，本块和下一个块的和以及答案，那么新区间的答案就是 \(\max(\) 左区间的答案+右区间的本块和，右区间的答案+左区间的下一块和，左区间的下一块前缀最大值和右区间的本块后缀最大值 \()\)，具体可以看代码。最后再开一棵线段树维护块间贡献的最大值。

考虑到查询的时候 \(l,r\) 不一定是块的左右端点，所以需要对 \(l,r\) 所在块特殊处理。首先如果 \(r-l+1\le c\) 直接最大子段和；否则对 \(l,r\) 所在的块单独询问最大子段和（这个是平凡的）；对于 \(l\) 所在块和下一个块的贡献，只需要将 \(l-1\) 设成负无穷就可以直接查询 \(l\) 所在块和下一个块的贡献了，\(r\) 同理。这样时间复杂度是大常数 \(O(n\log n)\)，过不去 Ynoi 加强版。

点击查看代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<numeric>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<set>
#include<array>
#include<tuple>
#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#include<chrono>
#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include<ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#define j0 jj0
#define j1 jj1
#define y0 yy0
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0)
#define OTIE cout.tie(0)
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define un using namespace
#define il inline
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define popc __builtin_popcountll
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
#define lson(x) ((x)<<1)
#define rson(x) ((x)<<1|1)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
using i64=long long;
using u64=unsigned long long;
using pii=pair<int,int>;
template<typename T1,typename T2>inline bool ckmx(T1 &qwqx,T2 qwqy){return qwqx>=qwqy?0:(qwqx=qwqy,1);}
template<typename T1,typename T2>inline bool ckmn(T1 &qwqx,T2 qwqy){return qwqx<=qwqy?0:(qwqx=qwqy,1);}
inline auto rd(){int qwqx=0,qwqf=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')qwqf=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){qwqx=(qwqx<<1)+(qwqx<<3)+ch-48;ch=getchar();}return qwqx*qwqf;
}
template<typename T>inline void write(T qwqx,char ch='\n'){if(qwqx<0){qwqx=-qwqx;putchar('-');}int qwqy=0;static char qwqz[40];while(qwqx||!qwqy){qwqz[qwqy++]=qwqx%10+48;qwqx/=10;}while(qwqy--){putchar(qwqz[qwqy]);}if(ch)putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int mod=998244353;
template<typename T1,typename T2>inline void adder(T1 &x,T2 y){x+=y,x=x>=mod?x-mod:x;}
template<typename T1,typename T2>inline void suber(T1 &x,T2 y){x-=y,x=x<0?x+mod:x;}
const int maxn=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m,Q,k;
i64 a[maxn];
struct node1{i64 premx,secmx,ans,sum;
};
node1 operator+(node1 x,node1 y){node1 res;res.sum=x.sum+y.sum,res.premx=max(x.premx,x.sum+y.premx),res.secmx=max(y.secmx,y.sum+x.secmx);res.ans=max({x.ans,y.ans,x.secmx+y.premx});return res;
}
#define mid ((l+r)>>1)
il int Lft(int x){return (x-1)*k+1;}
il int Rht(int x){return x*k;}
il int Bel(int x){return (x-1)/k+1;}
struct naive_sgt{node1 d[maxn<<2];il void pu(int p){d[p]=d[lson(p)]+d[rson(p)];}void bd(int l=1,int r=n,int p=1){if(l==r)return d[p].sum=a[l],d[p].premx=d[p].secmx=d[p].ans=max(0ll,a[l]),void();bd(l,mid,lson(p)),bd(mid+1,r,rson(p));pu(p);}void mdf(int x,i64 v,int l=1,int r=n,int p=1){if(l==r)return d[p].sum=v,d[p].premx=d[p].secmx=d[p].ans=max(0ll,v),void();x<=mid?mdf(x,v,l,mid,lson(p)):mdf(x,v,mid+1,r,rson(p));pu(p);}node1 qry(int ll,int rr,int l=1,int r=n,int p=1){if(ll<=l&&r<=rr)return d[p];if(rr<=mid)return qry(ll,rr,l,mid,lson(p));if(ll>mid)return qry(ll,rr,mid+1,r,rson(p));return qry(ll,rr,l,mid,lson(p))+qry(ll,rr,mid+1,r,rson(p));}
} t1;
//a是本块后缀和 b是下一块前缀和 
struct node2{i64 ans,amx,bmx,asum,bsum;
};
node2 operator+(node2 x,node2 y){node2 res;res.ans=max({x.ans+y.asum,y.ans+x.bsum,x.bmx+y.amx}),res.asum=x.asum+y.asum,res.bsum=x.bsum+y.bsum;res.amx=max(y.amx,y.asum+x.amx),res.bmx=max(x.bmx,x.bsum+y.bmx);return res;
}
struct hard_sgt{node2 d[maxn<<2];il void pu(int p){d[p]=d[lson(p)]+d[rson(p)];}void bd(int l=1,int r=n-k,int p=1){if(l==r)return d[p].amx=d[p].asum=a[l],d[p].bmx=d[p].bsum=a[l+k],d[p].ans=-llinf,void();bd(l,mid,lson(p)),bd(mid+1,r,rson(p));pu(p);}void mdfa(int x,i64 v,int l=1,int r=n-k,int p=1){if(l==r)return d[p].amx=d[p].asum=v,void();x<=mid?mdfa(x,v,l,mid,lson(p)):mdfa(x,v,mid+1,r,rson(p));pu(p);}void mdfb(int x,i64 v,int l=1,int r=n-k,int p=1){if(l==r)return d[p].bmx=d[p].bsum=v,void();x<=mid?mdfb(x,v,l,mid,lson(p)):mdfb(x,v,mid+1,r,rson(p));pu(p);}node2 qry(int ll,int rr,int l=1,int r=n-k,int p=1){if(ll<=l&&r<=rr)return d[p];if(rr<=mid)return qry(ll,rr,l,mid,lson(p));if(ll>mid)return qry(ll,rr,mid+1,r,rson(p));return qry(ll,rr,l,mid,lson(p))+qry(ll,rr,mid+1,r,rson(p));}
} t2;
struct rmq_sgt{//0 块内贡献 1 块间贡献 i64 d[2][maxn<<2];il void pu(int p){rep(i,0,1)d[i][p]=max(d[i][lson(p)],d[i][rson(p)]);}void bd(int l=1,int r=m-1,int p=1){if(l==r)return d[0][p]=t1.qry(Lft(l),Rht(l)).ans,d[1][p]=t2.qry(Lft(l),Rht(l)).ans,void();bd(l,mid,lson(p)),bd(mid+1,r,rson(p));pu(p);}void mdf(int x,int l=1,int r=m-1,int p=1){if(l==r)return d[0][p]=t1.qry(Lft(l),Rht(l)).ans,d[1][p]=t2.qry(Lft(l),Rht(l)).ans,void();x<=mid?mdf(x,l,mid,lson(p)):mdf(x,mid+1,r,rson(p));pu(p);}i64 qry(int o,int ll,int rr,int l=1,int r=m-1,int p=1){if(rr<l||r<ll||ll>rr)return -llinf;if(ll<=l&&r<=rr)return d[o][p];return max(qry(o,ll,rr,l,mid,lson(p)),qry(o,ll,rr,mid+1,r,rson(p)));}
} t3;
#undef mid
void mdf(int x,i64 y){if(x<1||x>n)return;if(x<=n-k)t2.mdfa(x,y),t3.mdf(Bel(x));if(x>k)t2.mdfb(x-k,y),t3.mdf(Bel(x)-1);
}
inline void solve_the_problem(){n=rd(),Q=rd(),k=rd();rep(i,1,n)a[i]=rd();while(n%k)++n;m=n/k;t1.bd();if(n>k)t2.bd(),t3.bd();
//	node2 res=t2.qry(1,3);
//	write(res.ans,32),write(res.amx,32),write(res.asum,32),write(res.bmx,32),write(res.bsum);while(Q--){int op=rd(),l=rd(),r=rd();if(op==1){a[l]=r;t1.mdf(l,r);if(n>k)mdf(l,r);}else{if(r-l+1<=k){write(t1.qry(l,r).ans);continue;}mdf(l-1,-llinf),mdf(r+1,-llinf);i64 ans=max(t3.qry(0,Bel(l)+1,Bel(r)-1),t3.qry(1,Bel(l),Bel(r)-1));ckmx(ans,max(t1.qry(l,Rht(Bel(l))).ans,t1.qry(Lft(Bel(r)),r).ans));write(ans);mdf(l-1,a[l-1]),mdf(r+1,a[r+1]);}}
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}
/*
5 1 3
0 5 -3 8 -3
2 1 5
*/